Раздел VII: Схема Бернулли.

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A. Появление события A в каждом испытании называют «успехом», непоявление – «неудачей». Вероятность того, что событие A в серии из n испытаний произойдет ровно k раз и не произойдет n– k раз определяется по формуле Бернулли:

,

где q=1–p вероятность неудачи, то есть события .

Саму серию испытаний называют схемой Бернулли.

Пример 1: 10 раз подкидывается монета. Найти вероятность того, что ровно два раза выпадет герб.

Решение: Испытание – подкидывание монеты. Очевидно испытания независимые. Всего испытаний n=10. Успех A={выпал герб}. ,. Число успеховk=2. Тогда вероятность того, что ровно два раза выпадет герб равна:

Замечание: прежде чем использовать формулу Бернулли необходимо убедится, что испытания независимы.

Пример 2: Известно, что изделия в среднем содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий: а) нет ни одного бракованного; б) будет ровно два бракованных.

Замечание: Выражение «в среднем 5%» не означает, что из 100 деталей ровно 5 бракованных, а значит, что вероятность взять бракованную деталь равна 0,05 вне зависимости от того, какая деталь была выбрана дл этого.

Решение: За испытание возьмем выбор изделия. Всего испытаний n=5. Успех A={изделие бракованное}. ,. В силу последнего замечания испытания независимы и задача является вероятностной схемой Бернулли.

а) k=0,

б) k=2,

Пример 3: Всхожесть семян определенного сорта оценивают с вероятностью p=0,8. Какова вероятность, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

Решение: Нас интересует вероятность события B={взойдет не менее 4 семян}. Пусть испытание – наблюдение за одним из посеянных семян (n=5), а успех A={семя взойдет}. Воспользоваться напрямую формулой Бернулли нельзя, так как нужно задать конкретное число успехов. Однако эту задачу можно привести к схеме Бернулли:

B=B₁+B₂

B₁={взойдет ровно 4 семени}; B₂={взойдет ровно 5 семян}.

Последние два события несовместны, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Оба события являются вероятностной схемой Бернулли:

1) B₁: n=5; k=4; p=0,8; q=0,2

2) B₂: n=5; k=5; p=0,8; q=0,2

P(B)=P(B₁)+P(B₂)=0,4096+0,32768=0,73728

Пример 4: Вероятность рождения мальчика 0,515. В семье 6 детей. Какова вероятность того, что среди них не более двух девочек?

Решение: Испытание – определение пола ребенка. Успех A={ребенок – девочка}.

B={из 6 детей не более двух девочек}.

Рассмотрим события:

B₀={в семье нет девочек}; B₁={в семье одна девочка}; B₂={в семье две девочки}.

B=B₀+B₁+B₂

n=6; p=0,485; q=0,515.

;

P(B)=P(B₀)+P(B₁)+P(B₂)=0,37228

Наивероятнейшее число наступлений события.

Вероятности P_n(k) при данном n сначала увеличиваются при увеличении k от 0 до некоторого значения k₀, а затем уменьшаются при изменении k от k₀ до n. Поэтому k₀ называют наивероятнейшим числом наступления события A в n испытаниях.

Наивероятнейшее число k₀ определяется из неравенств: np–q≤k₀≤np+p

В этом неравенстве k₀ может быть только целым числом.

Если произведение np – целое число, то k₀=np. Если np–q и np+p целые числа, то наивероятнейших чисел наступления события будет два: и, и их вероятности будут равны.

Пример 5: Батарея дала 14 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект p=0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

Решение: p=0,2 – вероятность попадания в объект; q=0,8 – вероятность промаха; n=14. Наивероятнейшее число попаданий k₀ определяется из неравенств np–q≤k₀≤np+p

np=140,2=2,8; 2,8–0,8≤k₀≤2,8+0,2; 2≤k₀≤3

Таким образом, наивероятнейшее число попаданий равно 2 и 3. Найдем их вероятности:

Пример 6: Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна p=0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Решение: p=0,8 – вероятность попадания; q=0,2 – вероятность промаха; k₀=20 – наивероятнейшее число попаданий; n – ? – число выстрелов. Для определения n воспользуемся неравенствами np–q≤k₀≤np+p:

n0,8–0,2≤20≤n0,8+0,8  19,2≤n0,8≤20,2  24≤n≤25,25

Так как n – целое число, то оно может быть равно либо 24, либо 25.

Подсчитаем вероятность 20 попаданий при 24 и 25 выстрелах:

;

.

Для того, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20 нужно провести либо 24, либо 25 выстрелов, причем вероятности ровно 20 попаданий при 24 и 25 выстрелах равны.