Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.

Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная ее функции распределения:

Случайная величина равномерно распределена в области D площадью S_D , если ее плотность распределения задается так:

Значение константы однозначно определяется условием нормировки:

Отсюда:

Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения ,Y – непрерывная случайная величина с плотностью распределения ,- плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины

По известной двумерной плотности распределения можно однозначно восстановить одномерные плотности распределения:

Случайные величины X и Y независимы, если

Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины Y при условии X=x (условная плотность):

Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины X при условии Y=y:

Отсюда

Основные числовые характеристики

Математическим ожиданием непрерывной двумерной случайной величины называется совокупность математических ожиданий одномерных случайных величин:

Точка с координатами называетсяцентром рассеивания.

Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:

Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины :

Смешанное мат. Ожидание

Ковариация в случае непрерывных случайных величин:

Коэффициент корреляции:

, где ,-средние квадратические отклонения

Функции регрессии в случае непрерывных случайных величин есть условные математические ожидания:

, ,

где и- условные плотности распределения.

Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.

Задания:

1. Написать выражение для

2. Найти ,

3. Найти координаты центра рассеивания

4. Сделать вывод о зависимости X и Y

5. Найти плотности условных распределений

6. Найти ковариационную матрицу

7. Найти

Варианты:

1. Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-1,1), R(0,2) соответственно.

2. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (1,2), (1,0).

3. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

4. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями координат.

5. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

6. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (0,1), (0,0).

7. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

8. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

9. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:

10. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

11. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (0,0), (0,2), (1,0).

12. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

13. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

14. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

15. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

16. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

17. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

18. Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-2,0), R(0,2) соответственно.

19. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:

20. Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(0,3), R(0,2) соответственно.

21. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-2,0), (1,2), (1,0).

22. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

23. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной, равной 2, и диагоналями, совпадающими с осями координат.

24. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

25. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид: