Раздел IV: Геометрические вероятности.

Классическое определение вероятности не подходит для случаев, когда исходы опыта составляют несчетное множество. Самым простым примером может служить следующая задача: В пределы некоторой областиΩ случайным образом бросается точка u. Необходимо найти вероятность того, что точка попадет в область А. Выражение «случайным образом», означает, что шансы попасть в любую точку области Ω одинаковы. Тогда вероятность попадания точки u в область А логично определить как отношение площадей области А к области Ω:

.

Можно распространить этот принцип определения вероятности на общий случай несчетного множества элементарных исходов опыта:

,

где – мера событияА, – мера пространства элементарных исходов Ω. В предыдущем примере мерой множества элементарных исходов была площадь. Можно привести пример, где мерой будет длина: на отрезокBC наудачу бросается точка u. Найдем вероятность попадания точки u на отрезок DE:

A={точка u попала на отрезок DE}.

.

Здесь – длина отрезка DE, – длина отрезка BC.

Такой способ определения вероятностей называется геометрическим. Он применим только тогда, когда все точки пространства элементарных исходов Ω равновозможны.

Пример 1 (задача о встрече): Двое условились о встрече в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа и не дождавшись уходит. Найти вероятность встречи, если каждый приходит случайным образом.

Решение: Обозначим через x – момент прихода первого участника встречи, а через y – момент прихода второго. Очевидно 12≤x≤13 и 12≤y≤13. Тогда пространство элементарных исходов это множество точек (x,y) удовлетворяющих этим неравенствам: . Условие того, что каждый из участников встречи ждет не более четверти часа можно представить в виде:

.

Изобразим множества Ω и A на плоскости x0y. За начало отсчета возьмем 12 часов. Элементарным исходом  будет точка с координатами (x,y). Пространством элементарных исходов является квадрат со стороной, равной 1. Событие A состоит из точек заштрихованной области. Тогда вероятность события A равна отношению площади заштрихованной области к площади квадрата.

Пример 2 (задача Бюффона): На плоскости нанесены параллельные прямые, расстояние между которыми равно L. На эту плоскость наугад бросается игла длиной a (a≤L). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из начерченных линий?

Решение: Пусть φ – угол наклона иглы к прямой, x – расстояние от нижнего конца иглы до ближайшей верхней прямой. Очевидно x и φ – два независимых параметра, определяющих положение иглы относительно прямых. 0≤x≤L (если x будет больше L, то ближайшей верхней прямой будет прямая 3 и расстояние от нижнего конца иглы будет определяться до нее). 0≤φ≤π (если φ будет меньше 0 или больше π, то «нижний» конец иглы становится верхним). Игла будет пересекать прямую при условии, что .

Таким образом ;

Изобразим на плоскости 0x пространство элементарных исходов  и событие A.

Тогда

;

Тогда

Задачи к разделу IV:

1. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

2. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами?

4. На отрезок [0;2] наугад, независимо друг от друга брошены две точки  и . Найти P{|-|>0,5}.

5. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросают наудачу монету диаметра 2r < a. Найти вероятность того, что монета попадет целиком внутрь квадрата.

6. Имеется магнитофонная лента длиной L=200 м, на обеих сторонах которой записаны данные; на одной стороне сообщение длиной L₁=30 м, на другой – длиной L₂=10 м; местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением участок ленты длиной L₀=10 м, начинающийся на расстоянии 80 м от начала ленты, был удален. Найти вероятность, что ни та, ни другая записи не повреждены.

7. На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет заключена между 36 см² и 81 см².

8. Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.

9. Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени T. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.

10. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, случайно брошена монета радиуса r. Найдите вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников.

11. Стержень длины а наудачу разломан на 3 части. Любые возможные варианты длин частей равновероятны. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше .

12. Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из отрезка [-1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

13. На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки А, В, С. Найдите вероятность того, что треугольник АВС остроугольный.

14. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго – 2 ч.( p=S1/S=(22*23-21*21)/(22*23)=65/506 )

15. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленного на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол.

16. Стержень единичной длины произвольным образом разламывается на три части длиной x, y, z. Любые возможные варианты длин частей равновероятны. Найти вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник.

17. В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найдите вероятности следующих событий:

18. а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит х;

б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата превосходит х.

19. В любые моменты промежутка времени T равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Найти вероятность того, что приемник будет забит.

20. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (r=1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки: а) в круг радиуса 2r; б) в заштрихованную область.

21. По радиоканалу в течение промежутка времени (0;1) передаются два сигнала длительностью T<1/2. Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0;1-T). Если сигналы перекрывают друг друга хотя бы частично, оба они искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что сигналы приняты без искажений.

22. На отрезке длиной l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше kl, где 0<k<1?

23. На отрезке AB длиной l наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.

24. В интервале времени [0, T] в случайный момент времени u появляется сигнал длительности D. Приемник включается в случайный момент времени n Î [0, T] на время t. Найдите вероятность обнаружения сигнала приемником.

25. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

26. Наудачу взяты два положительных числа – x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное у/х не больше двух.