3.6. Икосаэдрические простые формы

Икосаэдрические точечные группы, являются некристаллографическими, поскольку кристаллическая решетка не может быть инвариантна относительно поворотов вокруг осей 5-го порядка. Это значит, что в природе невозможно существование кристаллов с точечной симметрией Yи Y_h. Однако исследования структуры молекул фуллеренов и строения синтезированных квазикристаллов, для которых характерна икосаэдрическая симметрия, приводят к необходимости описания многогранников, имеющих симметрию точечных групп Y и Y_h. т. е. икосаэдрические простые формы.

Мы видели, что два из пяти Платоновых тел — правильный пентагондодекаэдр и икосаэдр (рис. 2.13г, д) — имеют симметрию группы Y_h, т. е. являются икосаэдрическими простыми формами.

Будем следовать методике, использованной при выводе кубических простых форм, т. е. рассматривать икосаэдрические простые формы как усложнение правильного додекаэдра и икосаэдра.

Для характеристики положения граней икосаэдрических простых форм введем числа, пропорциональные направляющим косинусам нормалей к этим граням. Эти тройки чисел назовем обобщенными индексами граней. Для различия индексов направлений и обобщенных индексов граней будем в последних использовать символы к, к, следуя кристаллографической традиции. Множество индексов симметрично-эквивалентных граней будем заключать в фигурные скобки, а множество индексов симметрично-эквивалентных направлений — в угловые скобки.

Рассмотрим простые формы точечной группы Y_h. Введем ортогональную систему координат, оси которой совмещены с тремя взаимно перпендикулярными осями 2-го порядка этой группы.

Правильный пентагондодекаэдр, образуется, если порождающая грань располагается перпендикулярно любой оси 5-го порядка (точка 1 на рис. 3.48). Этот многогранник имеет 12 граней, каждая из которых представляет собой правильный пятиугольник, 20 вершин и 30 ребер (рис. 2.13г). Следует отличать этот многогранник от пентагондодекаэдра и тетартоэдра — простых форм в группах Т_h и Т, грани которых имеют форму неправильных пятиугольников. 

Грани правильного пентагондодекаэдра имеют обобщенные индексы типа {hτh 0}, где параметр τ = (√5 + 1)/2 . Собственная симметрия грани — С_5v.

Оси 5-го порядка проходят через центры взаимно параллельных граней, оси 3-го порядка соединяют взаимно противоположные вершины додекаэдра, оси 2-го порядка проходят через середины ребер.

Рис. 3.48. Стереографическая проекция частных простых форм икосаэдрических точечных групп

Если расположить исходную грань перпендикулярно какой-либо оси 3-го порядка, то образуется икосаэдр (точка 2 на рис. 3.48). Икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых представляет собой правильный треугольник, 12 вершин и 30 ребер. Группа Y_h содержит в качестве подгруппы группу Т_h. Это приводитк тому, что из 20 граней икосаэдра 8 имеют индексы типа {111}. Остальные 12 граней имеют индексы типа {τ²hh0}. Все грани икосаэдра обладают собственной симметрией С_3v. Оси 5-го порядка соединяют взаимно противоположные вершины икосаэдра, оси 3-го порядка проходят через центры взаимно параллельных треугольных граней, оси 2-го порядка проходят через середины ребер икосаэдра.

Теперь сориентируем исходную грань перпендикулярно любой оси 2-го порядка и получим еще одну частную простую форму, которая называется ромбический триаконтаэдр (точка 3 на рис. 3.48). Этот многогранник имеет 30 граней в форме ромба, 32 вершины и 60 ребер (рис. 3.49). При данной установке 6 граней имеют обобщенные индексы типа {001}, остальные 24 — типа {hτ²hτh}. Грани триаконтаэдра имеют собственную симметрию С_2v В 12-ти вершинах (которые являются точками выхода осей 5-го порядка) сходятся по 5 граней, в остальных 20-ти вершинах (в точках выхода осей 3-го порядка) сходится по 3 грани. Оси 2-го порядка, естественно, проходят через центры граней. Каждому из шести направлений типа (hОτh) параллельны десять ребер ромбического триаконтаэдра.

Рис. 3.49. Ромбический триаконтаэдр

Простые формы, перечисленные ниже, можно назвать переходными по аналогии с соответствующими простыми формами кубической сингонии.

Расположим исходную грань таким образом, чтобы ее нормаль не совпадала ни с одной осью симметрии, но лежала в некоторой плоскости симметрии группы Y_h. При этом возможны три варианта ориентации нормали, обозначенные на рис. 3.48 цифрами 4, 5, 6.

Если нормаль исходной грани отклоняется от положения 1 и переходит в положение 4 (рис.3.48), то на гранях правильного додекаэдра образуются пятискатные крыши, изображенные на рис. 3.50а, и мы получаем частную простую форму — пирамидальный додекаэдр (рис. 3.51).

Рис. 3.50. Виды крыш на гранях правильного пентагондодекаэдра (а, б) и (в, г), порождающие икосаэдрические частные простые формы:

а — пирамидальный додекаэдр (положение 4 на рис. 3.48), в — пирамидальный икосаэдр (положение 5 на рис. 3.48), б, г — триаксис-икосаэдр (положение 6 на рис. 3.48)

Пирамидальный додекаэдр имеет 60 граней, 32 вершины и 90 ребер. Все его грани — равнобедренные треугольники с собственной симметрией C_S. В 12-ти вершинах (в точках выхода осей 5-го порядка) сходятся по 5 граней, в остальных 20-ти вершинах (в точках выхода осей 3-го порядка) сходятся по 6 граней.

Рис. 3.51. Пирамидальный додекаэдр

Рис. 3.52. Пирамидальный икосаэдр

Теперь сместим нормаль исходной грани из положения 2 на рис. 3.48 в положение 5. При этом на гранях икосаэдра образуются трехскатные крыши, показанные на рис. 3.50в, и возникает новая частная простая форма — пирамидальный икосаэдр (рис. 3.52).

Этот многогранник также имеет 60 граней, 32 вершины и 90 ребер, и также его грани — равнобедренные треугольники с собственной симметрией С_S. Однако топологически он отличается от пирамидального додекаэдра. В 12-ти его вершинах (в точках выхода осей 5-го порядка) сходятся по 10 граней, в остальных 20-ти вершинах (в точках выхода осей 3-го порядка) сходятся по 3 грани.

Пусть теперь нормаль исходной грани находится в положение 6 на рис. 3.48. Это соответствует возникновению крыш вида 3.49б на гранях додекаэдра и крыш вида 3.49г на гранях икосаэдра. При этом образуется еще одна частная простая форма: триаксисикосаэдр (см. рис. 3.53).

Этот многогранник имеет 60 граней, 62 вершины и 120 ребер. Грани — неправильные четырехугольники с собственной симметрией С_S. Каждая вершина данного многогранника совпадает с выходом какой-либо оси симметрии. В 12-ти вершинах (в точках выхода осей 5-го порядка) сходятся по 6 граней, в 20-ти вершинах (в точках выхода осей 3-го порядка) сходятся по 3 грани. В 30- ти вершинах (в точках выхода осей 2-го порядка) сходятся по 4 грани.

Пусть, наконец, нормаль задающей грани находится в общем положении (расположена вне всех плоскостей отражения). Размножение исходной грани всеми операциями симметрии дает общую простую форму группы Y_h — гексакис-икосаэдр (рис. 3.54).

Этот 120-гранник имеет 180 ребер и 62 вершины. Грани этой простой формы — неправильные треугольники с собственной симметрией С₁. Форма треугольника определяется значениями обобщенных индексов hkl порождающей грани. Все вершины многогранника совпадают с выходами осей симметрии. В 12-ти вершинах (т. е. в точках выхода осей 5-го порядка) сходятся по 10 граней, в 20-ти вершинах (в точках выхода осей 3-го порядка) сходятся по 6 граней, в 30-ти вершинах (в точках выхода осей 2-го порядка) сходятся по 4 грани.

Теперь перейдем к простым формам точечной группы Y. При ориентации исходной грани перпендикулярно оси 5-го, 3-го и 2-го порядков образуются частные простые формы группы Y — правильный додекаэдр, икосаэдр и ромбический триаконтаэдр соответственно. Однако из-за отсутствия в групповом множестве группы Y плоскостей отражения, грани перечисленных многогранников будут иметь собственную симметрию С₅, С₃ и С₂ соответственно.

Общей простой формой группы Y является 60-гранник, который называют пентагональный пентагон-изоэдр. Этот многогранник имеет 150 ребер и 92 вершины. Отсутствие центра инверсии в группе Y обусловливает существование энантиоморфных многогранников — правого и левого (рис. 3.55). В каждой вершине сходятся или 5 граней, или 3 грани. Грань данной простой формы представляет собой неправильный пятиугольник. Форма пятиугольника определяется значениями обобщенных индексов hkl порождающей грани. Заметим, что гексакис-икосаэдр может быть получен из пентагонального пентагон-изоэдра надломом каждой грани за счет отражений в 15-ти плоскостях симметрии группы Y_h. .

Частными простыми формами группы Y являются пирамидальный додекаэдр, пирамедальный икосаэдр и триаксис-икосаэдр.

Рис. 3.55. Энантиоморфные пентагональные пентагон-изоэдры

В группе они образуются за счет равнонаклонного положения исходной грани относительно направлений осей симметрии. Собственная симметрия граней этих простых форм — С₁.