3.7. Различие одинаковых простых форм в разных точечных группах симметрии
Мы видели, что довольно часто одна и та же простая форма реализуется в кристаллах с разными точечными группами симметрии. Так, например, куб характерен для всех пяти точечных кристаллографических групп кубической сингонии. Выясним вопрос, чем симметрийно и физически различаются между собой кристаллические многогранники одинаковой внешней формы, но различающиеся по способу построения.
Рассмотрим в качестве примера действие каждой из кристаллографических групп кубической сингонии на множестве одинаковых граней в виде квадратов, перпендикулярных одной из осей координат кристаллографической системы. В кубической сингонии перпендикулярно координатным осям располагаются оси симметрии 4-го или 2-го порядка. Следовательно, во всех случаях куб можно представить как частную орбиту той кристаллографической группы, с помощью которой он был получен. Однако общая симметрия куба — Оh, следовательно, в группах О, Т, Тd и Тh куб представляет собой частную нехарактеристическую орбиту.
Как мы уже видели, частные и нехарактеристические орбиты предполагают некоторую минимальную симметрию элементов орбиты (наличие нетривиальной группы стабилизатора в группе G и ее надгруппе Т G). В группе Оh собственная симметрия грани куба — С4v. Следовательно, куб в кубической сингонии будет иметь симметрию Оh лишь в том случае, если собственная симметрия грани — С4v. Если же группа симметрии грани куба ниже, чем то симметрия куба будет соответствовать одной из подгрупп группы Оh. Следует заметить, что собственная симметрия грани куба не может быть ниже, чем С2.
Чисто геометрически «понизить» симметрию грани куба как части плоскости невозможно. Для этого необходимо рассматривать какие-либо негеометрические, в частности физические, свойства грани. Отражением таких свойств часто являются фигуры травления на гранях реальных кристаллов. Фигурами травления обычно называют природные или искусственно полученные ямки, борозды, наросты и другие морфологические особенности граней кристаллических многогранников, которые получаются, например, при растворении кристаллов. Фигуры травления отражают, в частности, анизотропию и симметрию термодинамических функций на грани кристалла и, следовательно, анизотропию скорости растворения данной грани кристалла. Хорошо известна, например, «штриховка» граней куба кристаллов пирита Fe2S (с точечной симметрией Тh), схематически показанная на рис. 3.56.
Из рис. 3.56 видно, что симметрия естественных борозд (штрихов) на гранях соответствует симметрии грани куба в группе Тh - С2v, а расположение штрихов на разных гранях куба отвечает симметрии относительно поворотной оси 3-го порядка.
Рис. 3.56. Естественная «штриховка» на гранях кристалла пирита: Fe2S
Таким образом, для того чтобы различить кубы, имеющих разную симметрию, следует определить симметрию каждой грани какими-либо физико-химическими методами. Условно симметрию совокупности физико-химических свойств грани обычно изображают штриховкой, которая соответствует собственной симметрии грани. На рис. 3.57 штриховкой условно показана симметрия всех пяти кубов, образующихся в точечных группах кубической сингонии.
Аналогичная картина наблюдается и для ряда других простых форм, например для октаэдров и тетраэдров. Будучи многогранниками с гладкими гранями, они могут быть получены в разных точечных группах, и только рассматривая собственную симметрию граней («штриховку»), можно различить разную точечную симметрию этих многогранников.
Рассматривая собственную симметрию граней одних и тех же простых форм в разных точечных группах симметрии, можно убедиться, что традиционно сложившаяся классификация простых форм (разделение на общие и частные) не всегда совпадает с математической классификацией орбит. В качестве примера рассмотрим п-гональные призмы в группах Сп и Сnh. В группе Сп группа собственной симметрии грани п-гональной призмы (группа стабилизатора, отвечающего данной грани — элементу орбиты) — С1. В этом смысле данная орбита не является частной. Однако если грань данной п-гональной призмы гладкая, то легко убедиться, что она инвариантна также относительно группы т. е. п-гональная призма с гладкими гранями отвечает нехарактеристической орбите группы Сп. Аналогичным анализом можно убедиться, что такая же п-гональная призма с гладкими гранями соответствует частной нехарактеристической орбите группы Спh.
Пусть теперь грани призмы имеют полностью асимметричную штриховку. Мы видели в §3.1, что любая орбита, элементы которой полностью асимметричны, может быть только общей. Следовательно, в группе Сп призма, грани которой имеют полностью асимметричную штриховку, отвечает общей орбите.
Рис. 3.57. Симметрия граней кубов в разных точечных группах кубической сингонии:
Над изображением грани стоит символ точечной группы, под изображением — символ точечной группы собственной симметрии грани