2.7. Построение логарифмических характеристик сау

Передаточные функции разомкнутых и замкнутых САУ можно привести к виду

(2.143)

где – передаточные функции элементарных звеньев.

Тогда частотная передаточная функция

. (2.144)

Отсюда ФЧХ (ЛФЧХ), АЧХ и ЛАЧХ определяются выражениями

; (2.145)

; (2.146)

. (2.147)

Таким образом, результирующие логарифмические фазо-частотная и амплитудно-частотная характеристики могут быть построены как суммы ЛФЧХ (ЛАЧХ) отдельных звеньев.

Рассмотрим в качестве примера построение асимптотических логарифмических частотных характеристик разомкнутой САУ, передаточная функция которой равна

, (2.148)

где k = 10; T = 10 c.

Выражение (2.148) свидетельствует о том, что разомкнутая цепь САУ содержит последовательно включенные интегрирующее и апериодическое звенья

. (2.149)

Рассчитаем сопрягающую частоту апериодического звена .

Согласно выражению (2.36), асимптотическая ЛАХ рассматриваемого интегрирующего звена

. (2.150)

Она проходит через точку с координатами – см. рисунок 2.53.

Рисунок 2.53

В соответствии с формулами (2.35) и (2.36), асимптотическая ЛАХ рассматриваемого апериодического звена

. (2.151)

Она проходит через точку с координатами – см. рисунок 2.53.

График результирующей ЛАХ разомкнутой САУ приведен на рисунке 2. 54 (сплошная линия).

Рисунок 2.54

Отметим, что продолжение низкочастотной асимптоты ЛАХ (пунктирная линия на рис. 2.54) по-прежнему (как и на рис. 2.53) проходит через точку с координатами .

В соответствии с выражениями (2.43) и (2.30), ЛФЧХ рассматриваемых интегрирующего и апериодического звеньев

; (2.152)

. (2.153)

Графики (2.152), (2.153), а также результирующей ЛФХ разомкнутой САУ () приведены на рисунке 2.55.

Рисунок 2.55

Из данного примера следует, что для получения результирующей ЛАХ не обязательно строить ЛАХ отдельных звеньев. Рассмотрим следующий алгоритм построения.

1. Перепишем формулу (2.143) в виде

, (2.154)

где ;

–полиномы вида ,;

–полиномы вида ,.

Отметим, что ЛАХ и ЛФХ дифференцирующего звена второго порядка с передаточной функцией отличаются от соответствующих характеристик колебательного звена только знаком.

2. Определяем сопрягающие частоты ,и отмечаем их на оси абсцисс.

3. Строим низкочастотную асимптоту ЛАХ с наклоном () дБ/дек. Ордината этой асимптоты или ее продолжение на частотедолжна быть равна. Заканчивается низкочастотная асимптота на первой сопрягающей частоте.

4. После первой и всех последующих сопрягающих частот наклон асимптотической ЛАХ изменяется. На сопрягающих частотах, созданных полиномами числителя (2.154), изменение наклона положительное, а созданных полиномамизнаменателя – отрицательное. Полином первой степени изменяет наклон на 20 дБ/дек, полином второй степени – на 40дБ/дек.

Рассмотрим в качестве примера построение ЛАХ разомкнутой САУ с передаточной функцией

, (2.155)

где k = 100; с;с;с;.

Тогда сопрягающие частоты ;;. Наносим отметки сопрягающих частот на ось абсцисс (рис. 2.56).

Перепишем для удобства формулу (2.155) в порядке следования сопрягающих частот

. (2.156)

Строим низкочастотную часть ЛАЧХ (рис. 2. 56). Поскольку в функции (2.156) величина , то наклон ЛАХ в области низких частот равен (– 20 дБ/дек). Продолжение данной асимптоты проходит через точку с координатами. Заканчивается низкочастотная асимптота на первой сопрягающей частоте.

Рисунок 2.56

Поскольку первая сопрягающая частота создается полиномом знаменателя первого порядка , то он изменяет наклон второй асимптоты на (– 20 дБ/дек) – рисунок 2.56. Заканчивается вторая асимптота на второй сопрягающей частоте.

Вторая сопрягающая частота создается полиномом числителя первого порядка . В этом случае происходит изменение наклона третьей асимптоты на (+ 20 дБ/дек) – рисунок 2.56. Заканчивается третья асимптота на третьей сопрягающей частоте.

Третья сопрягающая частота создается полиномом знаменателя второго порядка , что приводит к изменению наклона четвертой асимптоты на (– 40 дБ/дек).