2.8. Устойчивость линейных сау

Устойчивость – важнейшая характеристика САУ, она определяет ее работоспособность (возможность достижения поставленной цели).

Под устойчивостью САУ понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения, выведшего систему из этого состояния. При этом одно и то же движение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойчивым относительно другой, например: вращение ротора турбины устойчиво по отношению к ее угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала; движение ракеты устойчиво относительно заданной траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системы координат. Поэтому всегда необходимо оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных исследуется.

Как отмечалось ранее, с помощью передаточных функций замкнутой системы (2.130), (2.132), (2.134), (2.136) можно рассчитать переходные процессы в САУ. Решение для переходного процесса (например, выходной величины y(t)) складывается из принужденной и свободной составляющих:

. (2.157)

С математической точки зрения САУ является устойчивой, если свободная составляющая переходного процесса с течением времени затухает (стремится к нулю)

. (2.158)

Для этого корни характеристического уравнения замкнутой САУ

(2.159)

должны быть действительными отрицательными (апериодический переходный процесс) или комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью (колебательный переходный процесс).

Другими словами, необходимым и достаточным условием устойчивости линейной САУ является расположение всех корней характеристического уравнения (2.150) в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис. 2.57).

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то САУ неустойчива. Следовательно, мнимая ось (рис. 2.57) является границей устойчивости.

Рисунок 2.57

Замкнутая САУ находится на границе устойчивости, если характеристическое уравнение (2.159) имеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мнимых корней.

Если , то говорят: “Система находится на границе апериодической устойчивости”. В этом случае САУ безразлична к значению самой регулируемой величиныy(t) (величина ошибки x(t) может принимать произвольные значения) и устойчива относительно скорости ее изменения ().

Если , то говорят: “Система находится на границе колебательной устойчивости”. При этом выходная величинаизменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой и частотой.

Таким образом, определить устойчивость линейной САУ можно, рассчитав корни характеристического уравнения. При современном уровне развития ЭВМ эта задача решается просто. Однако на первоначальном этапе развития ТАУ (конец девятнадцатого века) расчет корней полиномов выше третьего порядка представлял собой сложную задачу. Поэтому были разработаны критерии, позволяющие без вычисления корней судить об устойчивости САУ.

Критерии устойчивости делятся на две группы – алгебраические и частотные (рис. 2.58).

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости САУ по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы:

. (2.160)

Необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов в выражении (2.160):

. (2.161)

Отметим, что в случае в характеристическом уравнении (2.159) есть один нулевой корень, и система находится на границе апериодической устойчивости.

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик и являются графоаналитическими.

Рисунок 2.58