2.9.3. Коэффициенты ошибок

Если функция дифференцируема и после окончания переходного процесса существенное значение имеет только конечное числоi ее производных, то установившуюся ошибку можно определить следующим образом.

Положим для простоты, что возмущающее воздействие отсутствует . В соответствии с выражением (2.126) запишем изображение ошибки:

. (2.218)

Разложим передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки по задающему воздействию в ряд Тэйлора, тогда выражение (2.218) принимает вид

, (2.219)

где ,, …,– коэффициенты ошибок.

Переходя от изображения ошибки (2.219) к оригиналу, получим

. (2.220)

Коэффициенты ошибок можно определить следующими способами.

I. Воспользоваться известными формулами:

; (2.221)

; (2.222)

; (2.223)

……………………..;

. (2.224)

Рассмотрим в качестве примера простейшую САУ, структурная схема которой приведена на рисунке 2.83.

Рисунок 2.83

Передаточная функция прямой цепи рассматриваемой системы

. (2.225)

Тогда передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки по задающему воздействию имеет вид

. (2.226)

Определим коэффициенты ,,. Согласно выражению (2.221), величинабудет

. (2.227)

Для расчета коэффициента возьмем первую производную от передаточной функции (2.226):

. (2.228)

В соответствии с формулой (2.213) коэффициент будет

. (2.229)

Для определения коэффициента возьмем вторую производную от передаточной функции (2.226):

. (2.230)

Тогда на основании формулы (2.223) коэффициент будет

. (2.231)

II. Если является дробно-рациональной функцией вида (2.3), то ее разложение в ряд Тэйлора с последующим выделением коэффициентов ошибок можно осуществить простым делением полинома числителя на полином знаменателя, располагая члены полиномов в порядке возрастания степеней.

Разделим полином числителя (2.226) на полином знаменателя:

(2.232)

Сравнивая (2.232) и (2.219), получим

, (2.233)

, (2.234)

. (2.235)

Из формулы (2.235) следует

. (2.236)

Покажем, как можно определить с помощью коэффициентов ошибок на примере САУ (см. рис. 2.83).

Пусть на вход системы подается задающее воздействие вида

. (2.237)

В соответствии с формулой (2.220) необходимо взять первую производную от задающего воздействия (2.237)

. (2.238)

Тогда, согласно формуле (2.220), величина установившейся ошибки

, (2.239)

или

. (2.240)

Учитывая выражения (2.233) и (2.234), окончательно получим

. (2.241)

Полученный результат подтверждает вывод, сделанный в пп. 2.9.2: если степень временной функции задающего воздействия m (в рассмотренном примере m = 1) больше порядка астатизма системы (), то с течением времени ошибка неограниченно возрастает: .

Так, на рисунке 2.84 приведены графики изменения во времени задающего воздействия (2.237), выходной величины и ошибки регулированияв системе (см. рис. 2.83).

Рисунок 2.84

Данное обстоятельство (неограниченный рост ошибки при ) необходимо учитывать при проектировании систем управления соответствующим выбором порядка астатизма САУ.

Отметим, что результат вычисления установившейся ошибки с помощью формулы (2.220) справедлив только после окончания переходного процесса в системе (рис. 2.85).

Рисунок 2.85