2.8.1. Критерий устойчивости Гурвица

Позволяет в аналитической форме связать условие устойчивости с параметрами системы.

Формулировка критерия: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все n определителей Гурвица были положительными.

Принцип построения определителей Гурвица иллюстрируется рисунком 2.59.

Рисунок 2.59

Исследуем устойчивость систем управления, описываемых дифференциальными уравнениями различных порядков.

2.8.1.1. Условие устойчивости САУ, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка. Характеристический полином такой САУ имеет вид

. (2.162)

Для анализа устойчивости следует составить только один определитель Гурвица первого порядка

. (2.163)

Учитывая необходимое условие устойчивости (2.161), получим

. (2.164)

Вывод. Все САУ первого порядка с положительными коэффициентами характеристического полинома являются устойчивыми.

2.8.1.2 Условие устойчивости САУ, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Характеристический полином имеет вид

. (2.165)

Для анализа устойчивости необходимо составить определители Гурвица первого и второго порядков.

Определитель первого порядка

. (2.166)

Определитель второго порядка

. (2.167)

Учитывая необходимое условие (2.161), получим автоматическое выполнение неравенств ,.

Вывод. Все САУ второго порядка с положительными коэффициентами характеристического полинома являются устойчивыми.

2.8.1.3 Условие устойчивости САУ, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка. Характеристический полином имеет вид

. (2.168)

Для анализа устойчивости необходимо составить определители Гурвица первого, второго и третьего порядков.

Определитель первого порядка

. (2.169)

Определитель второго порядка

. (2.170)

Определитель третьего порядка

. (2.171)

Для устойчивости САУ третьего порядка необходимо и достаточно выполнение условий

; (2.172)

; (2.173)

. (2.174)

Учитывая условие (2.161), получим автоматическое выполнение неравенства (2.172).

Из условия (2.173) следует

. (2.175)

Отметим, что при положительности всех коэффициентов характеристического полинома (2.168) и выполнении условий (2.173) (или (2.175)) автоматически обеспечивается неравенство (2.174).

Вывод. Для устойчивости САУ третьего порядка с положительными коэффициентами характеристического полинома необходимо и достаточно выполнение условия (2.175).

Обобщая изложенное, отметим, что последний (по счету) определитель Гурвица

. (2.176)

Следовательно, при выполнении ,(обеспечивается необходимым условием (2.161)) для проверки устойчивости необходимо найти знаки определителей, начиная си заканчивая.