62	Гл. 2. Предел последовательности

частное

1

n+1

n+1

n+2

n

yn

n+1

n+1

yn+1

=

1 +

1

n+2

=

n+2

n+2

1 + 1

=

(n + 1)2

n+2

n

1

=

= 1 +

n(n + 2)

n + 1

n(n + 2)

В силу неравенства Бернулли (2.6.1) имеем

n+2

n +n 1:

yn+1	>	1 + n(n + 2)			n + 1	=	1 + n			n + 1 = 1:
yn			n + 2		n		1			n

Таким образом, yn > yn+1 при всех n. Поэтому согласно теореме о пределе монотонной последовательности предел lim yn существует и теорема доказана.

Аналогично доказательству убывания последовательности fyng можно установить возрастание последовательности fxng.

Следуя Л. Эйлеру, предел последовательности (2.6.2) обозначают буквой e. Наряду с число e является одной из наиболее важных констант в математике. Десятичное представление числа e имеет вид

e= 2; 718 : : :

В§ 6.5 будет показано, что e – иррациональное число.

§2.7. Частичные пределы

Пусть задана последовательность fxng и n1 < n2 < – некоторая строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность fxn1 ; xn2 ; : : : g = fxnk g называют подпоследовательностью последовательности fxng.

Таким образом, каждое число xnk является членом последовательности fxng и в последовательности fxnk g сохранен тот же порядок следования элементов, какой они имели в исходной последовательности. Можно сказать, что мы записываем подряд все члены последовательности x1; x2; x3; : : : , “вычеркиваем” некоторые её элементы, сохранив при этом бесконечно много элементов, и полученную последовательность называем подпоследовательностью последовательности fxng.

§ 2.7. Частичные пределы

63

Понятно, что если последовательность сходится к конечному или бесконечному пределу, то любая её подпоследовательность сходится к тому же самому пределу.

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом последовательности.

Здесь также имеются в виду как конечные, так и бесконечные пределы.

Частичный предел последовательности может не быть её пределом. Например, частичными пределами последовательности f( 1)ng, являются числа +1 и 1, а предела у этой последовательности нет.

Нетрудно убедиться, что число a является частичным пределом последовательности fxng тогда и только тогда, когда каждая "-окрестность a содержит бесконечно много членов последовательности fxng.

Теорема 2.7.1 (Теорема Больцано–Вейерштрасса). Из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть fxng – ограниченная последовательность и отрезок [a; b], содержит все члены последовательности fxng.

Разделим отрезок [a; b] пополам. По крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности fxng. Обозначим [a1; b1] тот из этих отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности, а если таковы оба отрезка, то – любой из них. Возьмём произвольный элемент последовательности fxng, принадлежащий отрезку [a1; b1]. Пусть это будет xn1 .

Разделим теперь пополам отрезок [a1; b1] и обозначим [a2; b2] один из получившихся отрезков, содержащий бесконечно много членов последовательности fxng. Выберем элемент последовательности fxng, принадлежащий отрезку [a2; b2], такой, что его индекс n2 больше, чем n1. Так выбран элемент xn2 .

На следующем шаге делим отрезок [a2; b2] пополам, берём отрезок [a3; b3], содержащий бесконечно много членов последовательности fxng, и выбираем в [a3; b3] элемент xn3 такой, что n3 > n2.

64	Гл. 2. Предел последовательности

Продолжив этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков f[ak; bk]g, каждый из которых содержит бесконечно много членов последовательности fxng, а длины отрезков [ak; bk] стремятся к нулю, и кроме того, последовательность чисел fxnk g со строго возрастающими индексами.

Согласно теореме 1.7.1 о вложенных отрезках существует точка, принадлежащая всем отрезкам [ak; bk]. Обозначим эту точку c и покажем, что

lim xnk = c:

k!1

Пусть " – произвольное положительное число. Так как длины отрезков [ak; bk] стремятся к нулю, то все эти отрезки, начиная с некоторого, содержатся в "-окрестности точки c, а вместе с ними в эту окрестность попадут и соответствующие члены последовательности fxnk g. Значит, при k ! 1 числа xnk сходятся к c.

Теорема доказана.

Таким образом, каждая ограниченная последовательность имеет по крайней мере один частичный предел.

Заметим, что если члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, то все её частичные пределы также принадлежат этому отрезку. А для интервалов такое утверждение не верно.

Теорема Больцано–Вейерштрасса относилась к ограниченным последовательностям. Её аналог для произвольных последовательностей формулируется следующим образом.

Теорема 2.7.2. Из каждой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел, конечный или бесконечный.

В самом деле, если последовательность fxng не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к +1. Сначала выбираем число xn1 такое, что xn1 > 1. Затем, пользуясь неограниченностью сверху последовательности, находим такой номер n2 > n1, что для xn2 выполняется неравенство xn2 > 2, и т. д. В результате получим limk!1 xnk = +1.

§ 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности

65

§ 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности

Рассмотрим вопрос о наибольшем и наименьшем частичных пределах последовательности.

Теорема 2.8.1. Если у ограниченной сверху последовательности существуют конечные частичные пределы, то точная верхняя грань множества её частичных пределов сама является частичным пределом.

Доказательство. Пусть a – точная верхняя грань множества частичных пределов ограниченной сверху последовательности fxng. Покажем, что в каждой окрестности числа a содержится бесконечно много членов последовательности fxng.

Согласно определению точной верхней грани для каждого положительного " в "-окрестности числа a найдётся частичный предел последовательности fxng. Обозначим его a" и возьмём настолько малую окрестность точки a", чтобы она целиком содержалась в рассматриваемой "-окрестности точки a. Этой окрестности точки a" принадлежит бесконечно много элементов последовательности fxng, которые, таким образом, лежат в указанной "-окрестности точки a.

Теорема доказана.

Определение. Точную верхнюю грань множества частичных пределов ограниченной сверху последовательности называют верхним пределом этой последовательности.

Если последовательность не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к +1, и верхним пределом последовательности называют +1.

Остаётся ещё случай, когда lim xn = 1. Тогда 1 называют верхним пределом последовательности fxng.

Таким образом, верхний предел определён для любой последовательности.

Аналогичное теореме 2.8.1 утверждение имеет место для точной нижней грани множества частичных пределов ограниченной снизу последовательности. Соответствующим образом вводится определение нижнего предела произвольной последовательности.

66	Гл. 2. Предел последовательности

Верхний и нижний пределы последовательности fxng обозначают соответственно

lim xn;

n!1

или

lim sup xn;

n!1

lim xn;

n!1

lim inf xn:

n!1

Отметим свойства верхних пределов, связанные с арифметическими действиями над последовательностями (аналогичными свойствами обладают и нижние пределы).

Нетрудно построить последовательности fxng и fyng, для которых не выполняется равенство

lim (xn + yn) =	lim xn + lim yn:
n!1	n!1	n!1

Но если одна из этих последовательностей имеет конечный предел, такое равенство справедливо. При этом, чтобы не предполагать конечность верхнего предела второй последовательности, положим, что сумма числа и бесконечного символа по определению равна этому бесконечному символу.

Теорема 2.8.2. Если последовательность fxng имеет конечный предел, то для произвольной последовательности fyng справедливо равенство

lim (xn + yn) =	lim xn + lim yn:		(2.8.1)
n!1	n!1	n!1

Доказательство. Последовательность fxng ограничена, так как она имеет конечный предел. Если верхний предел последовательности fyng бесконечен, то равенство (2.8.1) вытекает из ограниченности последовательности fxng и определения бесконечных пределов.

Будем далее считать верхний предел lim yn конечным.

Пусть a := limn xn. Если число b является частичным пределом последовательности fyng, т. е. b = limk!1 ynk для некоторой возрастающей последовательности индексов fnkg, то в силу теоремы о пределе суммы число a + b является частичным пределом

последовательности fxn +yng, так как limk!1 xnk +ynk		= a+b.
Аналогично, если из частичного предела	последовательности

fxn + yng вычесть a, то получим частичный предел для fyng.

§ 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности

67

Поэтому точная верхняя грань частичных пределов fxn + yng равна сумме числа a и точной верхней грани частичных пределов fyng, а в этом и состоит утверждение теоремы.

Теорема 2.8.3. Если последовательность fxng имеет конечный положительный предел, то для произвольной последовательности fyng справедливо равенство

nlim (xn yn) = nlim xn				nlim yn:			(2.8.2)
!1			!1	!1

Доказательство. Здесь также конечность верхнего предела последовательности fyng не предполагается, а произведение положительного числа и бесконечного символа считается равным этому бесконечному символу.

Пусть a := lim xn. Если lim yn = +1, т. е. для некоторой последовательности индексов fnkg

lim ynk = +1;

k!1

то для достаточно больших nk имеем ynk > 0 и согласно теореме 2.2.2 xnk > a=2. Отсюда

a

xnk ynk > 2 ynk ;

что и приводит к (2.8.2).

Если же lim yn = 1, то для всех достаточно больших n имеем yn < 0 и xn > a=2. Значит,

a xnyn < 2 yn:

Поэтому lim xnyn = 1.

Рассмотрим теперь случай, когда верхний предел lim yn конечен.

Пусть число b является частичным пределом последовательности fyng, т. е. b = limk ynk для некоторой возрастающей последовательности индексов fnkg.

Тогда в силу теоремы о пределе произведения

lim xnk ynk = ab;

k!1

т. е. ab является частичным пределом последовательности fxnyng.