86	Гл. 3. Предел функции

Если f(x) 6 B при x 2 (a; b), то существует конечная точная

верхняя грань M := supx2(a;b) f(x) и M 6 B. Значит, для каждого " > 0 найдётся точка x" 2 (a; b), в которой f(x") > M ". Но тогда

в силу возрастания f при всех x 2 (x"; b) имеем

M " < f(x") 6 f(x) 6 M:

Значит, f(b 0) = M.

Если f не ограничена сверху, то для каждого числа L существует точка xL 2 (a; b) такая, что f(xL) > L. Отсюда в силу возрастания f на (xL; b) имеем f(x) > f(xL) > L. Это показывает, что f(b 0) = +1.

Теорема доказана.

Подобное утверждение справедливо и для убывающих функций.

Теорема 3.6.2. Если функция f монотонна на интервале, то в каждой точке x этого интервала существуют односторонние пределы f(x+0) и f(x 0). При этом, если f возрастает, то f(x 0) 6 f(x + 0), а если f убывает, то f(x 0) > f(x + 0).

Доказательство. Пусть f возрастает на (a; b). Для произвольной точки x из (a; b) рассмотрим функцию f на промежутке

(a; x].

Так как все значения f на (a; x] ограничены сверху числом f(x), то согласно теореме 3.6.1 существует предел f(x 0) и справедливо неравенство f(x 0) 6 f(x). Точно так же из возрастания f на [x; b) следуют существование предела f(x + 0) и неравенство f(x) 6 f(x + 0).

Таким образом, для возрастающих функций теорема доказа-

на.

Для убывающих функций рассуждения аналогичны.

Заметим, что пределы функций при x ! +1 и x ! 1 можно рассматривать, как односторонние пределы при x ! 1.

§ 3.7. Сравнение функций

Пусть на множестве D заданы функции f(x) и '(x). Если существует такое число C, что при всех x 2 D выполняется неравенство

jf(x)j 6 Cj'(x)j;

§ 3.7. Сравнение функций	87
то говорят, что функция f есть O-большое от ' на	D и пишут
f(x) = O('(x)) на D:

Рассмотрим теперь функции f(x) и '(x), заданные в некоторой проколотой окрестности точки x0. Если существуют число C и такая проколотая окрестность точки x0, что при всех x из этой окрестности

jf(x)j 6 Cj'(x)j;

то говорят, что f есть O-большое от ' при x ! x0 и пишут

f(x) = O('(x)); x ! x0:

(3.7.1)

Хотя в (3.7.1) написано x ! x0, здесь нет предельного перехода. Такая запись означает только, что речь идёт о достаточно малой проколотой окрестности точки x0.

Если на D или при x ! x0 имеем и f(x) = O('(x)) и '(x) = O(f(x)), то говорят, что функции f(x) и '(x) имеют одинаковый порядок, соответственно, на D или при x ! x0.

Обозначать это будем так:
f(x) '(x);	(3.7.2)

обязательно добавляя, что это соотношение имеет место на D или при x ! x0.

Если функции f(x) и '(x) не обращаются в нуль (соответственно, на D или в некоторой проколотой окрестности точки x0), то определение одинакового порядка этих функций можно сформулировать так: существуют положительные числа C1 и C2 такие, что

f(x)
C1 6	'(x)	6 C2
на D или соответственно в достаточно			малой проколотой окрест-

ности точки x0.

Пусть функции f(x) и '(x) заданы в некоторой проколотой окрестности точки x0 и

lim f(x) = 0:

x!x0 '(x)

В этом случае говорят, что функция f(x) есть o-малое от '(x) при x ! x0, и пишут

f(x) = o('(x)); x ! x0:

(3.7.3)

88	Гл. 3. Предел функции

Здесь предполагается, что '(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0. Определение o-малого можно распространить на случай, когда функция '(x) может иметь нули в как угодно малой проколотой окрестности точки x0. Тогда запись (3.7.3) означает, что

f(x) = "(x) '(x);

где

lim "(x) = 0:

x!x0

Если f(x) = o(1); x ! x0, то функцию f называют бесконечно малой при x ! x0.

Подчеркнём, что хотя в формулах (3.7.1) и (3.7.3) присутствует знак равенства, в этих случаях мы имеем дело не с равенствами, а с оценками, сравнивающими поведение функций f(x) и '(x) при x ! x0.

Ясно, что если f(x) = o('(x)), x ! x0, то f(x) = O('(x)), x ! x0, а обратное утверждение неверно.

Понятно также, что если f(x) = O('(x)), x ! x0, и '(x) = O( (x)), x ! x0, то f(x) = O( (x)), x ! x0. При этом, если хотя бы в одном из этих соотношений O-большое заменить на o-малое, получим f(x) = o( (x)), x ! x0.

Если функции f(x) и '(x) таковы, что

lim f(x) = 1;

x!x0 '(x)

то говорят, что функции f(x) и '(x) при x ! x0 асимптотически равны или эквивалентны. В таком случае будем писать

f(x) '(x); x ! x0:

(3.7.4)

Асимптотическое равенство функций f(x) и '(x) можно определить ещё так: f(x) '(x), x ! x0, если

f(x) = (x) '(x);

где

lim (x) = 1:

x!a

Такое определение является несколько более общим, поскольку теперь нули функций f(x) и '(x) могут накапливаться в окрестности точки x0.

§ 3.7. Сравнение функций

89

К сожалению, для порядкового и асимптотического равенств нет общепринятых обозначений и наряду с (3.7.2) и (3.7.4) используются и другие варианты записи, означающие одинаковый порядок или асимптотическое равенство функций.

Теорема 3.7.1. Если f(x) '(x), x ! x0 , и для некоторой функции (x) существует предел

lim f(x) (x);

x!x0

то существует также предел

lim '(x) (x)

x!x0

и значения этих пределов равны.

Доказательство. По условию '(x) = (x) f(x) в достаточно малой окрестности точки x0, где limx!x0 (x) = 1. Значит, '(x) (x) = (x) f(x) (x) и пользуемся тем, что предел каждого их полученных двух множителей существует, причём предел первого из них равен 1. Теорема доказана.

Отметим, что символы O, o, , могут относиться не ко всем, а только к односторонним окрестностям точки x0.

Напомним, что обозначения o(1) и O(1) были введены в § 2.4, когда говорилось о бесконечно малых и об ограниченных последовательностях.