78	Гл. 3. Предел функции

Эквивалентность приведенных определений по Коши и по Гейне доказывается аналогично теореме 3.2.1. Отметим, что если в определении предела по Коши вместо записи неравенств, говорить об окрестностях, то никакой разницы между случаями, когда предел – конечное число и бесконечный символ не будет.

Определения пределов при x ! 1 и x ! 1 аналогичны. Наконец, даются определения, когда пределом является

не число, а бесконечный символ. Например, по определению limx!x0 f(x) = 1, если (помимо требования на область определения функции f) для любого числа M существует такое =(M) > 0, что при всех x 6= x0, для которых jx x0j < , имеем jf(x)j > M.

Подобным образом можно говорить о случаях, когда

lim f(x) = +1 (или 1),

x!x0

а также об определениях, когда в качестве x0 берется какой-либо бесконечный символ.

Как и для пределов последовательностей, будем говорить, что функция имеет предел, если этот предел конечен. А если предел может быть и бесконечным, это будет специально отмечаться.

§ 3.3. Свойства предела функции

Свойства пределов функций имеют много общего со свойствами пределов последовательностей. В ряде случаев доказательства будут опираться на результаты, полученные для последовательностей.

Теорема 3.3.1. Если функция имеет предел при x ! x0 , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Доказательство. Пусть a := limx!x0 f(x). Взяв " = 1, находим > 0, при котором для всех x 6= x0 и таких, что jx x0j < , имеем jf(x) aj < 1. Для этих x имеет место неравенство

jf(x)j 6 jf(x) aj + jaj < 1 + jaj

и теорема доказана.

Теорема 3.3.2. Если limx!x0 f(x) = a и a 6= 0, то существует такая проколотая окрестность точки x0 , что для всех x из

§ 3.3. Свойства предела функции

79

этой окрестности справедливо неравенство

jf(x)j > 12 jaj:

При этом f(x) > a=2, если a > 0, и f(x) < a=2, если a < 0.

Доказательство. Полагаем " := jaj=2 и находим > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих условию 0 < jx x0j < , выполняется оценка

jf(x) aj < 12 jaj:

Эта оценка равносильна двойному неравенству

	1	jaj < f(x) < a +	1			(3.3.1)
a					jaj:
	2			2

Теперь при a > 0 пользуемся левым неравенством (3.3.1):

a 12 jaj = 12 a < f(x);

а при a < 0 – правым неравенством (3.3.1):

f(x) < a + 12 jaj = a 12 a = 12 a:

Теорема доказана.

Теорема 3.3.3. Если функции f и g имеют пределы при x ! x0 и в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x) 6 g(x), то

lim f(x) 6 lim g(x):

x!x0 x!x0

Доказательство. В проколотой окрестности точки x0, в которой определены обе функции f и g, возьмём произвольную последовательность точек fxng, принадлежащих этой окрестности и сходящихся к x0.

Так как xn ! x0, то все члены последовательности fxng, начиная с некоторого номера n, попадут в ту окрестность точки x0, в которой f(x) 6 g(x). Значит, f(xn) 6 g(xn) при всех достаточно

80	Гл. 3. Предел функции

больших n. Отсюда по теореме 2.2.3 о пределах последовательностей

lim f(xn) 6 lim g(xn);

n!1 n!1

и осталось только заметить, что согласно определению функции по Гейне limn!1 f(xn) = limx!x0 f(x) и limn!1 limx!x0 g(x).

Теорема доказана.

предела g(xn) =

Из теоремы 3.3.3 следует, что если предел limx!x0 f(x) существует и f(x) > в некоторой проколотой окрестности точки x0 , то limx!x0 f(x) > .

Теорема 3.3.4. Пусть в некоторой проколотой окрестности точки x0 для функций f(x), g(x) и h(x) выполняются неравенства

f(x) 6 g(x) 6 h(x):

(3.3.2)

Если пределы limx!x0 f(x) и limx!x0 h(x) существуют и равны, то предел limx!x0 g(x) существует и равен общему значению пределов функций f(x) и h(x).

Доказательство. В проколотой окрестности точки x0, в которой выполняются неравенства (3.3.2), возьмём произвольную сходящуюся к x0 последовательность точек fxng. Тогда f(xn) 6 g(xn) 6 h(xn) и пределы последовательностей ff(xn)g и fh(xn)g существуют и равны. Значит, по теореме 2.2.4

lim g(xn) = lim f(xn):

n!1 n!1

Отсюда согласно определению предела функции по Гейне вытекает утверждение теоремы.

Теорема 3.3.5. Если существует предел limx!x0 f(x), то существует предел limx!x0 jf(x)j и справедливо равенство

x!x0					x!x0
lim		f(x)		=				:
Доказательство. Если limx						x0 f(x) =			a, то для каждого
					!

" > 0 существует такое > 0, что jf(x) aj < " при всех x, для

которых 0 < x x0j < . Но тогда и		jf(x)j jaj		6 jf(x) aj < ".
Теорема доказана.j

§ 3.3. Свойства предела функции

81

Рассмотрим арифметические действия над функциями, имеющими пределы в точке.

Теорема 3.3.6. Пусть для функций f и g существуют пределы limx!x0 f(x) и limx!x0 g(x). Тогда существуют указанные ниже пределы и справедливы равенства:

lim				lim			lim g(x);
x!x0		f(x) g(x) = x!x0 f(x)				x!x0
lim			lim			lim g(x);
x	!	x0 f(x) g(x) = x		!	x0 f(x)	x	!	x0

если, кроме того, limx!x0 g(x) 6= 0, то

	lim	f(x)	=	limx!x0 f(x)	:
		g(x)
	x!x0			limx!x0 g(x)

Доказательство. Из условия limx!x0 g(x) 6= 0 согласно теореме 3.3.2 следует, что в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство g(x) 6= 0. Значит, в этой окрестности имеет смысл частное f(x)=g(x).

Для доказательства каждого из утверждений теоремы выбираем произвольную сходящуюся к x0 последовательность точек fxng из проколотой окрестности точки x0, в которой определены функции f и g. Для последовательностей ff(xn)g и fg(xn)g соответствующие свойства известны (когда говорится о частном, учитываем, что g(xn) 6= 0 для достаточно больших n). При этом для любой такой последовательности fxng в левой части равенств каждого из утверждений получаем одинаковые значения пределов, так как пределы в правых частях не зависят от выбора последовательности.

До сих пор всюду имелись в виду конечные пределы функций. Но можно говорить и о свойствах бесконечных пределов.

Нетрудно показать, что если limx!x0 f(x) = +1, а функция g(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0, то

lim f(x) g(x) = +1:

x!x0

Но не все свойства конечных пределов переносятся на бесконечные пределы. Например, в правых частях равенств теоремы 3.3.6 могут появиться выражения, не имеющие смысла.