§ 1.4. Сложение чисел

21

не принадлежат множеству или их принадлежность множеству неизвестна или не обсуждается, пишут sup A и inf A.

§ 1.4. Сложение чисел

Определим сложение действительных чисел и установим свойства сложения.

Определение. Суммой чисел a и b называется число

a + b := sup( + );

где точная верхняя грань берётся по всем рациональным числами таким, что 6 a и 6 b.

Сумма определена для любых чисел a и b, так как при всех рассматриваемых и суммы + ограничены сверху. В самом деле, если a = a0; a1a2 : : : и b = b0; b1b2 : : : , то a 6 a0 + 1 и b 6 b0 + 1. Значит, 6 a0 + 1, 6 b0 + 1 и + 6 a0 + b0 + 2.

Понятно, что приведенное определение сложения действительных чисел согласовано со сложением рациональных чисел – для них получаем тот же результат, что и ранее.

Свойства сложения чисел составляют вторую группу свойств действительных чисел.

II.1. Для любых чисел a и b справедливо равенство a + b = b + a (коммутативность или переместительное свойство сложения).

Это вытекает из коммутативности сложения рациональных чисел.

II.2. Если a < b, то для любого числа c справедливо неравенство a + c < b + c.

Докажем сначала аналогичное свойство для нестрогих неравенств: если a 6 b, то для любого числа c имеем a + c 6 b + c.

Если и обозначают рациональные числа, то

a + c = sup ( + ):

6a; 6c

При замене условия 6 a на 6 b точная верхняя грань значений сумм + не может уменьшится. Поэтому

a + c 6 sup ( + ) = b + c:

6b; 6c

22	Гл. 1. Действительные числа

Отсюда вытекает правило сложения одноимённых нестрогих неравенств:

Если a 6 b и c 6 d, то a + c 6 b + d.

В самом деле, согласно доказанному a+c 6 b+c и b+c 6 b+d. Значит, в силу транзитивности знака 6

a + c 6 b + d:

Докажем теперь само свойство II.2.

Опираясь на теорему 1.2.1, найдём рациональные числа и , для которых имеют место неравенства a < < < b.

Пользуясь свойствами рациональных чисел, выберем натуральное число k такое, что > 10 k. Тогда

< 10 k:

(1.4.1)

Пусть k – k-е десятичное приближение числа c, т. е. k 6 c 6 k + 10 k. Сложив неравенства a < и c 6 k + 10 k по правилу сложения нестрогих неравенств, получаем с помощью оценки (1.4.1)

a + c 6 + k + 10 k < 10 k + k + 10 k = + k 6 b + c:

Таким образом, свойство II.2 доказано.

Из II.2 следует правило сложения одноимённых строгих неравенств:

Если a < b и c < d, то a + c < b + d.

Заметим, что если даже заменить здесь одно из неравенств a < b или c < d на нестрогое, всё равно получим строгое неравенство a + c < b + d.

II.3. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность или сочетательное свойство сложения).

Рассуждаем от противного. Обозначим u := (a + b) + c, v := a + (b + c) и предположим, что u 6= v. Пусть для определённости u < v.

Пользуясь теоремой 1.2.1, возьмём рациональные числа и такие, что u < < < v, а затем выберем натуральное n, для которого

> 3 10 n:

(1.4.2)

§ 1.4. Сложение чисел

23

Рассмотрим n-е десятичные приближения чисел a, b и c:

n 6 a 6 n + 10 n; n 6 b 6 n + 10 n; n 6 c 6 n + 10 n:

Складывая неравенства, находим n + n 6 a + b 6 n + n + 2 10 n и

n + n + n 6 (a + b) + c 6 n + n + n + 3 10 n:

Положим wn := n + n + n, тогда wn 6 u 6 wn + 3 10 n. Аналогично доказывается неравенство v 6 wn + 3 10 n. Таким образом, в силу выбора чисел и имеем

wn < < < wn + 3 10 n:

Поскольку здесь все числа рациональные, отсюда находим < 3 10 n, что противоречит неравенству (1.4.2).

Сложение чисел было определено для двух слагаемых. Но в силу ассоциативности сложения можно писать сумму трёх и более слагаемых без скобок, указывающих порядок действий.

Вместе с коммутативностью сложения это показывает, что при сложении действительных чисел, как и при сложении рациональных чисел, можно произвольным образом переставлять и группировать слагаемые.

II.4. Для каждого числа a справедливо равенство a + 0 = a.

Действительно,

a + 0 =	sup	( + ) = sup = a;
	6a; 60; ; 2Q	6a; 2Q

где последнее равенство имеет место в силу теоремы 1.3.4. Отметим, что свойство II.4 выполняется только для числа 0.

Действительно, если 00 – такое число, что 8 a имеем a + 00 = a, то

00 = 00 + 0 = 0.

II.5. Для каждого числа a существует такое число a0, что a + a0 = 0.

Покажем, что равенство a + a0 = 0 выполняется, если в качестве a0 взять a, т. е. число a с противоположным знаком.

Пусть n – n-е десятичные приближения числа a, т. е. n 6 a 6 n + 10 n. Тогда для a имеем n 10 n 6 a 6 n.

24 Гл. 1. Действительные числа

Сложив почленно эти неравенства, находим 10 n 6 a + ( a) 6 10 n, т. е. ja + ( a)j 6 10 n. Так как полученное неравенство выполняется при всех n, отсюда согласно лемме 1.2.4 следует равенство a + ( a) = 0.

Число a0, для которого a + a0 = 0, называют числом, противоположным a.

Нетрудно показать, что для каждого a противоположное чис-

ло определяется однозначно. Действительно, если наряду с a + a0 = 0 имеем a + a00 = 0, то

a00 = a00 + 0 = a00 + (a + a0) = (a00 + a) + a0 = 0 + a0 = a0:

Вычитание чисел вводится как действие, обратное сложению.

Определение. Разностью чисел a и b называется число a + ( b), его обозначают a b.

Для любых a и b имеем

(a + b) b = (a + b) + ( b) = a + (b + ( b)) = a:

Аналогично устанавливается равенство (a b) + b = a.

Так как сложение и вычитание чисел являются взаимно обратными действиями, слагаемые из одной части равенств и неравенств можно переносить с противоположным знаком в другую их часть.

Отметим, что (a + b) = a b. Для доказательства записываем равенство (a + b) + a + b = 0 и переносим числа a и b в его правую часть.

Теорема 1.4.1. Для любых чисел a и b справедливо неравенство

ja + bj 6 jaj + jbj:

(1.4.3)

Доказательство. Сложив неравенства a 6 jaj и b 6 jbj, получим a + b 6 jaj + jbj. Аналогично, (a + b) = a b 6 jaj + jbj. Но модуль ja + bj равен или a + b или (a + b), поэтому теорема доказана.

Неравенство (1.4.3) называют неравенством треугольника, так как если считать a и b векторами, а jaj и jbj их длинами, то (1.4.3) означает, что в треугольнике (в том числе и вырожденном) длина каждой стороны меньше или равна суммы длин двух других сторон.