156	Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

Следствие 6.2.12. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 , дифференцируема в проколотой окрестности точки x0 и существует предел limx!x0 f0(x), то f дифференцируема в точке x0 и

f0(x0) = lim f0(x);

x!x0

т. е. производная f0(x) непрерывна в точке x0 .

§ 6.3. Раскрытие неопределённостей

Мы уже встречались с пределами дробей

lim	f(x)	;	(6.3.1)
x!a g(x)

когда limx!a g(x) = 0. Например, в § 4.8 был вычислен предел

lim sin x:

x!0 x

В таких случаях нельзя переходить к пределу отдельно в числителе и в знаменателе дроби.

Если limx!a f(x) 6= 0, то предел (6.3.1) бесконечен. Поэтому интересен случай, когда limx!a f(x) = 0.

Если предел при x ! a каждой из функций f(x) и g(x) равен нулю, то предел (6.3.1) называют неопределённостью вида 0=0, так как такое выражение получается при формальном переходе к пределу.

Нахождение подобных пределов называют раскрытием неопределённостей.

Покажем, как применяются производные для раскрытия неопределённости 0=0, а также неопределённостей других типов.

Теорема 6.3.1. Пусть в точке a функции f(x) и g(x) равны нулю и имеют производные, причём g0(a) 6= 0. Тогда предел (6.3.1) существует и справедливо равенство

lim	f(x)		=	f0(a)		:	(6.3.2)
					g0(a)
x a g(x)
!

Доказательство. Из условия g0(a) 6= 0 согласно теореме 6.1.1 следует, что функция g строго монотонна в точке a и, так

§ 6.3. Раскрытие неопределённостей

157

как g(x) = 0, то g(x) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки a. Поэтому вблизи точки a дробь f(x)=g(x) имеет смысл.

Для x 6= a имеем

	f(x)	=	f(x) f(a)	=	f(x) f(a)	:	g(x) g(a)	:	(6.3.3)
	g(x)		g(x) g(a)		x a		x a

Каждая дробь в полученном выражении имеет предел при x ! a, причём предел делителя, равный g0(a), отличен от нуля. Поэтому в частном из правой части (6.3.3) можно перейти к пределу при x ! a отдельно в делимом и в делителе. Так получим равенство (6.3.2).

Теорема доказана.

Вэтой теореме можно говорить об односторонних производных функций f и g и соответствующем одностороннем пределе в (6.3.2).

Вследующих далее теоремах 6.3.2 и 6.3.3 имеются в виду односторонние пределы.

Теорема 6.3.2 (Правило Лопиталя для раскрытия неопределённости 0=0). Пусть a – число или бесконечность определённого знака, функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой проколотой односторонней окрестности a, причём g0(x) не обращается в этой окрестности в нуль, limx!a f(x) = 0 и limx!a g(x) = 0. Если существует конечный или бесконечный

	предел				f0(x)
		lim						;		(6.3.4)
		x		a g0(x)
	!
	то существует предел
		lim				f(x)	;			(6.3.5)
		x!a g(x)
	также конечный или бесконечный, и справедливо равенство
	lim	f(x)		= lim					f0(x)	:
	x!a g(x)					x!a g0(x)

Доказательство. В проколотой окрестности a, в которой g0(x) не обращается в нуль, согласно теореме 6.2.10 функция g(x) строго монотонна и не имеет нулей, поскольку её предел при

158 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

x ! a равен нулю. Поэтому при x, близких к a, дробь из (6.3.5) имеет смысл.

Будем сначала считать a конечным. Положим f(a) := 0, g(a) := 0, т. е. доопределим (или переопределим) функции f(x) и g(x) в точке a. Тогда эти функции становятся непрерывными в соответствующей окрестности точки a.

Имеем

f(x) = f(x) f(a): g(x) g(x) g(a)

Дробь в правой части этого равенства при x, близких к a, удовлетворяет условиям теоремы Коши 6.2.3 о среднем. Значит, при некотором 2 (0; 1)

f(x)			f0		a + (x a)
			=	g0 a + (x a)			:		(6.3.6)
	g(x)
								x	!	a	су-
По условию предел дроби из правой части (6.3.6) при

ществует. Поэтому из (6.3.6) вытекает утверждение теоремы для конечных a.

Пусть теперь a – бесконечный символ, для определённости a =

+1. Рассмотрим функции '(t) := f(1=t) и

(t) := g(1=t).

При достаточно малых положительных t функции '(t) и (t)

дифференцируемы и

0(t) = g0(1=t) t2 6= 0:

'0(t) = f0(1=t) t2 ;

1

1

Поэтому

'0(t)

= f0(1=t) g0(1=t)

и существует предел

0(t)

lim

'0(t)

=

lim

f0(x)

:

t!+0

0(t)

x!+1 g0(x)

Так как '(t) ! 0; (t) ! 0 при t ! +0, то по уже доказанному

имеем

'(t)

'0(t)

lim

=

lim

:

t

t +0

(t)

!

+0

0(t)

!

Для завершения доказательства теоремы осталось только заметить, что

lim	f(x)		=	lim	'(t)	:
					(t)
x!+1 g(x)				t!+0

§ 6.3. Раскрытие неопределённостей

159

Отметим, что существование предела (6.3.4) является достаточным условием существования предела (6.3.5), но не является необходимым. Например, если f(x) = x2 sin 1=x и g(x) = x, то

lim

f(x)

= lim x sin

1

= 0:

g(x)

x

x!0

x!0

Вместе с тем, дробь

x2

= 2x sin x

cos x

g00(x)

= 2x sin x + x2 cos x

f (x)

1

1

1

1

1

при x ! 0 предела не имеет.

Теорема 6.3.3 (Правило Лопиталя для раскрытия неопределённости 1=1). Пусть a – число или бесконечность определённого знака, в некоторой проколотой односторонней окрестности a функции f(x) и g(x) имеют производные, g0(x) не обращается в нуль и limx!a f(x) = 1, limx!a g(x) = 1. Если существует конечный или бесконечный предел

lim	f0(x)		;	(6.3.7)
x a g0		(x)
!

то существует равный ему предел

lim f(x);

x!a g(x)

т. е.
lim	f(x)	= lim	f0(x)	:	(6.3.8)
x!a g(x)		x!a g0(x)

Доказательство. Пусть для определённости a – число и x ! a+0. Необходимые изменения, если a – бесконечный символ, касаются только формы записи.

Всюду далее будем иметь в виду ту окрестность, где f(x), g(x)

иg0(x) не имеют нулей и производная f0(x) существует. Введём обозначение

lim f0(x) = K:

x!a+0 g0(x)

Сначала рассмотрим случай, когда предел K конечен.

160	Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

Для произвольного положительного " существует точка x0 > a такая, что при всех x 2 (a; x0) справедлива оценка

	f (x)				< ":	(6.3.9)
g00(x) K
Для x, достаточно	близких		к	a, имеем jf(x0)j <		jf(x)j и

jg(x0)j < jg(x)j, поскольку пределы f(x) и g(x) бесконечны. Полагая для таких x

h(x) := 1 gg((x0)

:

1 f(x0) ;

x )

f(x )

получаем

f(x) =

f(x) f(x0)

g(x) g(x0) :

f(x) f(x0) =

g(x)

g(x) g(x0)

g(x)

f(x)

=

f(x) f(x0)

h(x):

(6.3.10)

g(x) g(x0)

Согласно теореме Коши о среднем для каждой точки x 2

(a; x0) существует точка x 2 (x; x0), для которой

f(x) f(x0)

=

f0( x)

:

(6.3.11)

g(x) g(x0)

g0( x)

Из (6.3.9)–(6.3.11) следует, что при x, близких к a,

f(x)

f0( x)

=

g(x) K =

g0( x) h(x) K

f0( x)

=

K h(x) + K h(x)

1 6

g0( x)

6

"

h(x)

+

K

h(x)

1

:

j

j

j

j j

j

Но limx!a+0 h(x) = 1, поэтому

lim

f(x)

= K

x!a+0 g(x)

и для случая, когда предел K конечен, теорема доказана.

Если предел K бесконечен, то K равно или +1 или 1. В самом деле, согласно теореме 6.2.10 функция g(x) строго монотонна, поскольку её производная не обращается в нуль. Значит,

§ 6.3. Раскрытие неопределённостей

161

производная g0(x) или положительна или отрицательна. Из бесконечности предела (6.3.7) следует, что производная f0(x) не имеет нулей вблизи точки a. Следовательно, эта производная также имеет определённый знак и K равно или +1 или 1.

Так как f0(x) вблизи точки a не имеет нулей, можно говорить о пределе обратного отношения

lim	g0(x)	:	(6.3.12)
x!a+0 f0(x)

Этот предел равен нулю, причём дробь из (6.3.12) вблизи a либо положительна, либо отрицательна.

Согласно уже рассмотренному случаю конечного K имеем

lim g(x) = 0:

x!a+0 f(x)

А в силу аналогов для этого случая равенств (6.3.10) и (6.3.11) дробь g(x)=f(x) имеет тот же знак, что и g0(x)=f0(x).

Таким образом, равенство (6.3.8) выполняется и для бесконечных K.

Теперь теорема доказана полностью.

Отметим, что в теореме 6.3.2, также как и в теореме 6.3.3, если предел отношения производных (6.3.4) бесконечен, то он является бесконечностью определённого знака.

Покажем теперь, как можно раскрывать неопределённости других типов, когда формальный переход к пределу приводит к выражениям вида

0 1; +1 (+1); (+0)0; (+1)0; 11:

Если lim f(x) = 0 и lim g(x) = 1, то вместо

lim f(x)g(x)

можно рассмотреть предел

lim f(x) ; 1=g(x)

который является неопределённостью вида 0=0.

162	Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

Если lim f(x) = +1 и lim g(x) = +1, то запись разности этих функций в виде произведения

f(x) g(x) =	1	1			f(x)g(x)
	g(x)		f(x)

даёт неопределённость вида 0 1.

Неопределённости (+0)0, (+1)0, 11 обычно раскрывают, пользуясь представлением

f(x)g(x) = eln f(x)g(x) = eg(x) ln f(x)

(при естественном условии f(x) > 0). Полученное произведение в показателе степени в этих случаях представляет собой неопределённость вида 0 1 или 1 0.

Правило Лопиталя удобно использовать при доказательстве существования бесконечно дифференцируемой (т. е. имеющей производные любого порядка) функции, которая обращается в нуль только в одной точке, а все её производные в этой точке равны нулю.

Покажем, что этими свойствами обладает функция

(

'(x) := e 1=x2 при x 6= 0;

0при x = 0:

Если x 6= 0, то

'0(x) = x23 e 1=x2 ;

а каждая следующая производная функции '(x) равна произве-

дению e 1=x2 на некоторую линейную комбинацию дробей вида

1=xk, k 2 N.

Докажем для произвольного натурального числа k равенство

	lim		e 1=x2			= 0:		(6.3.13)
	x!0			xk
Сделаем замену 1=x2 = t, тогда
lim	e 1=x2			=	lim		tk=2
									:
	x	k						t
x!0				t!+1				e

Эта запись является условной: она означает, что пределы равны, если они существуют.