Глава 1. Действительные числа

§ 1.1. Бесконечные десятичные дроби

Рациональные (в частности, целые) числа и их свойства считаются известными из школы. Рациональные числа можно сравнивать (т. е. для них введены понятия “равно”, “больше” и “меньше”), определены арифметические действия над рациональными числами – сложение, вычитание, умножение и деление.

Но рациональных чисел недостаточно даже для задач элемен-

тарной математики. Так, длина диагонали квадрата со стороной 1 p

равна 2, а это число иррациональное, т. е. не рациональное. Не является рациональным и число , выражающее длину окружности диаметра 1.

Напомним, что такое числовая прямая. На горизонтально расположенной прямой выбирают начальную точку O и единичный отрезок OE, отложенный вправо от точки O. Точке O ставится в соответствие число 0, точке E – число 1. Откладывая вправо от точки E шаг за шагом единичный отрезок, получают точки, соответствующие натуральным числам 2; 3; : : : , а откладывая единичный отрезок влево от точки O, – точки, соответствующие целым отрицательным числам 1; 2; : : : .

Затем строятся точки, соответствующие рациональным числам. При n = 2; 3; : : : отрезок OE делят на n равных частей и чтобы получить точку, соответствующую положительному рациональному числу m=n, вправо от точки O откладывают m раз отрезок длины 1=n. Точно также для отрицательных рациональных чисел находят соответствующие им точки слева от точки O.

Таким образом, каждому рациональному числу поставлена в соответствие точка на числовой прямой. Но при этом не каждой точке числовой прямой соответствует рациональное число. На-

пример, нет рационального числа, соответствующего точке, рас- p

положенной справа от O на расстоянии 2.

В этой главе рациональные числа будут пополнены до множества действительных чисел, в результате каждой точке числовой

7

8			Гл. 1. Действительные числа

прямой будет соответствовать число, а каждому числу – точка на прямой.

Такое пополнение рациональных чисел можно осуществить разными способами. Мы сделаем это, используя бесконечные десятичные дроби. Такой способ был намечен в школе, но сейчас все рассуждения будут проведены заново.

Отметим, что определение действительных чисел как бесконечных десятичных дробей восходит к К. Вейерштрассу.

Построим десятичную дробь, соответствующую произвольной точке A числовой прямой.

Пусть точка A расположена справа от точки O и не отвечает натуральному числу. Найдём целые числа a0 и a0+1, между которыми лежит точка A. В качестве целой части десятичной дроби, соответствующей точке A, берём a0.

Далее отрезок между точками a0 и a0 + 1 делим на 10 равных частей и приписываем этим частям слева направо цифры от 0 до 9. Среди полученных промежутков длины 1/10 находим тот, внутри которого находится точка A (случай, когда A оказывается одной из точек деления, обсудим позднее) и в качестве первого десятичного знака искомой дроби берём цифру, приписанную этому промежутку. Продолжая этот процесс, получим (при условии, что A не оказывается точкой деления) бесконечную десятичную дробь, соответствующую точке A.

Рассмотрим теперь случай, когда точка A оказалась одной из точек деления. Пусть, например, A расположена как на рисунке:

	0	1	2		9
a			A				a +1
	0				0

Точкам на промежутке, примыкающем к A справа, в качестве первого десятичного знака мы приписали цифру 2, а на промежутке, примыкающем слева, – цифру 1. По поводу самих точек деления нужно решить, к какому промежутку их относить: лежащему справа или лежащему слева. Если точки деления относить к

§ 1.1. Бесконечные десятичные дроби

9

правым промежуткам, то для точки A на рисунке получим a0; 2, а все остальные десятичные знаки – ноли, т. е. получим a0; 2000 : : : . Если точки деления относить к левым промежуткам, то для точки A получим a0; 1, а все остальные десятичные знаки – девятки,

т.е. получим a0; 1999 : : : = a0; 1(9).

Взависимости от договоренности, относить точки деления к правым или к левым промежуткам, для точек, соответствующих натуральным числам, также получим две бесконечные десятичные дроби. У одной из них все десятичные знаки ноли, а у другой целая часть на единицу меньше, а все десятичные знаки – девятки.

Для точек числовой прямой слева от точки O пишем перед дробью знак минус, а затем подобным образом находим числа a0; a1; a2; : : : , определяющие соответствующую бесконечную десятичную дробь a0; a1a2 : : : .

Таким образом, для всех точек числовой прямой (кроме начальной точки O), которые оказываются точками деления, возможны две записи – с нолем в периоде (т. е. в виде целого числа или конечной десятичной дроби) или с девяткой в периоде. Для остальных точек бесконечная десятичная дробь определяется однозначно.

Чтобы каждой точке числовой прямой соответствовала единственная бесконечная десятичная дробь, уславливаются не различать получающиеся при указанном построении дроби с 0 и с 9 в периоде. Обычно в каждом рассуждении используют дроби только с нолем или только с девяткой в периоде.

Поставим обратную задачу – для заданной бесконечной десятичной дроби a0; a1a2 : : : найти соответствующую ей точку числовой прямой.

По знаку дроби и числу a0 находим два идущих подряд целых числа, между которыми должна располагаться искомая точка. Затем, разбив промежуток между этими точками на 10 равных частей, по числу a1 находим тот из полученных промежутков длины 1=10, которому должна принадлежать наша точка.

Продолжая шаг за шагом это построение, получим последовательность промежутков, каждый из которых содержится в предыдущем, а длина его в 10 раз меньше. Искомая точка должна принадлежать всем этим промежуткам.

10	Гл. 1. Действительные числа

Но обязательно ли существует такая точка, мы сейчас не знаем. В дальнейшем на этот вопрос будет получен положительный ответ.

Всё сказанное о бесконечных десятичных дробях следует рассматривать как наводящие соображения к тому, чтобы назвать числами бесконечные десятичные дроби.

Определение. Действительными (вещественными) числами называют бесконечные десятичные дроби a0; a1a2 : : : , где выбран определённый знак: “+” или “ ”, a0 – натуральное число или нуль, а все десятичные знаки a1; a2; : : : – цифры от 0 до 9. При этом дробь a0; a1 : : : am(9), где am 6= 9, определяет то же число, что и дробь a0; a1 : : : am 1d000 : : : , у которой m-й десятичный знак d равен am + 1.

Действительные числа будем обозначать буквами и писать a = a0; a1a2 : : : , опуская обычно при этом знак +. Число 0 записывают как бесконечную дробь 0; 000 : : : , которую можно снабдить и знаком + и знаком , но как правило этой дроби знак не приписывают.

При записи чисел a; b; c; : : : в виде бесконечных десятичных дробей для обозначения десятичных знаков будем использовать эти же буквы с индексами:

a = a0; a1a2 : : : ; b = b0; b1b2 : : : ; c = c0; c1c2 : : : :

Для каждого числа a = a0; a1a2 : : : вводится число a, которое отличается от a только знаком, т. е. a := a0; a1a2 : : : . На числовой прямой точки, соответствующие числам a и a, расположены симметрично относительно начальной точки O.

Выясним, как соотносятся рациональные и действительные числа.

Рациональные числа представимы в виде дроби mn , где m – целое число, а n – натуральное.

Будем для определённости считать, что m > 0. Разделив m на n “уголком”, получим либо конечную десятичную дробь, которую можно записать в виде бесконечной дроби с 0 в периоде, либо бесконечную десятичную дробь, которая обязательно будет периодической.

В самом деле, остатками при делении на n могут быть только числа 1; 2; : : : ; n 1. Рассмотрим остатки, которые получаются при делении m на n после того, как все значащие цифры числа m