16	Гл. 1. Действительные числа

Лемма 1.2.4. Если для числа a существует такое натуральное число p, что

jaj 6 p 10 n

(1.2.3)

при всех натуральных n, то a = 0.

Доказательство. Предположим, что a 6= 0. Тогда при некотором k число ak в представлении a в виде бесконечной десятичной дроби отлично от нуля.

Найдём натуральное m, для которого

10 k > p 10 m:

Таким образом,

jaj > ak 10 k > 10 k > p 10 m;

что противоречит условию леммы. Поэтому лемма доказана.

Заметим, что в условии леммы достаточно предполагать, что неравенство (1.2.3) имеет место для всех достаточно больших n.

§ 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани числового множества

Сделаем предварительно несколько замечаний о множествах. Множество является одним из исходных понятий математики, оно не определяется. Вместо слова “множество” можно говорить о наборе, совокупности, собрании, коллекции. Но эти слова не могут служить определением, они только поясняют понятие мно-

жества.

Множество может содержать или не содержать те или иные объекты, которые называют элементами. Если элемент x принадлежит множеству A, то пишут x 2 A, а если x не принадлежит множеству A, пишут x 2= A. Множество задаётся набором своих элементов.

Общеприняты следующие стандартные обозначения: N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

§ 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани множества

17

Наряду с множествами, содержащими какие-либо элементы, рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называют пустым и обозначают ?. Если множество содержит хотя бы один элемент, его называют непустым.

Определение. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то A называют подмножеством множества B и пишут A B или B A.

Например, Q R, N Z Q.

Так как пустое множество ? не имеет элементов, то считают, что ? A для любого множества A.

Определение. Если A B и B A (т. е. каждый элемент множества A принадлежит B и каждый элемент B принадлежит A), то множества A и B называют равными и пишут A = B. В противном случае пишут A 6= B.

Таким образом, условие A B не исключает равенства A = B. Переходим к теме настоящего параграфа о верхних и нижних гранях числовых множеств. Далее будем рассматривать только числовые множества и говорить просто о множествах, подразу-

мевая, что это множества чисел.

Определение. Непустое множество A называют ограниченным сверху, если существует такое число K, что x 6 K для всех x 2 A.

Непустое множество A называют ограниченным снизу, если существует такое число k, что x > k для всех x 2 A.

Определение. Если множество ограничено и сверху и снизу, его называют ограниченным.

Иначе можно сказать так: непустое множество A называется ограниченным, если существует такое число K, что для всех x 2 A справедливо неравенство jxj 6 K. В самом деле, неравенство jxj 6 K равносильно двойному неравенству K 6 x 6 K.

Определение. Число M называется точной верхней гранью

непустого множества A, если

1)для любого числа x 2 A справедливо неравенство x 6 M;

2)для каждого числа M0 < M существует число x0 2 A такое, что M0 < x0.

18	Гл. 1. Действительные числа

Условие 2) показывает, что M является наименьшим из чисел, ограничивающих сверху все числа множества A.

Множество может иметь только одну точную верхнюю грань. Действительно, допустим, что числа M и M различны и оба являются точными верхними гранями непустого множества A. Пусть для определённости M < M. Так как M – точная верхняя грань, то в силу условия 2) существует число x 2 A такое, что M < x . Значит, M не может быть точной верхней гранью множества A.

Определение. Число m называется точной нижней гранью

непустого множества A, если

1)для любого числа x 2 A имеем m 6 x;

2)для каждого числа m0 > m существует число x0 2 A такое, что x0 < m0.

Точная нижняя грань множества (если она существует) также определяется единственным образом.

Обозначения точной верхней грани

M = sup x = sup A

x2A

(sup от латинского supremum – “высшее”) и точной нижней грани

m = inf x = inf A

x2A

(inf от латинского infimum – “низшее”).

Если множество представляет собой конечный набор чисел, то его точная верхняя грань равна наибольшему, а точная нижняя грань – наименьшему из этих чисел.

Если множество имеет точную верхнюю грань, то оно ограничено сверху, а если имеет точную нижнюю грань, оно ограничено снизу. Покажем, что в этих утверждениях ограниченность множества сверху, соответственно, снизу является не только необходимым, но и достаточным условием существования точных граней.

Теорема 1.3.1. Если непустое множество A ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань.

Доказательство. Представим числа из A в виде бесконечных десятичных дробей, запретив запись с 0 в периоде.

Если среди чисел множества A есть неотрицательные, то задача о существовании точной верхней грани всего множества A

§ 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани множества

19

эквивалентна такой задаче для неотрицательных чисел из A. Поэтому мы вправе исключить из множества A все отрицательные числа.

Так как числа из A ограничены сверху, то ограничены сверху целые части этих чисел. Значит, существует наибольшее число среди этих целых частей. Обозначим его M0.

Выберем те числа из A, у которых целая часть равна M0, и рассмотрим первые десятичные знаки таких чисел. Пусть M1 – наибольший из этих первых десятичных знаков.

Будем далее рассматривать только те числа из A, десятичная запись которых начинается с M0; M1. Наибольший второй десятичный знак этих чисел обозначим M2. Снова оставляем только такие числа из A, десятичная запись которых начинается с M0; M1M2, и проводим аналогичные рассуждения с третьим десятичным знаком.

Продолжив неограниченно этот процесс, получим бесконечную десятичную дробь

M0; M1M2 : : : :

Положим M := M0; M1M2 : : : и покажем, что M = sup A.

По построению M > x для любого x 2 A. С другой стороны, взяв произвольное число M0 := M00; M10M20 : : : , меньшее M, находим среди чисел 0; 1; 2; : : : наименьший индекс k такой, что Mk0 < Mk. Но среди чисел множества A есть число x0, десятичное разложение которого начинается с M0; M1 : : : Mk. Значит, M0 < x0 и M является точной верхней гранью множества A.

Пусть теперь множество A содержит только отрицательные числа.

В представлении чисел x 2 A в виде бесконечных десятичных дробей x = x0; x1x2 : : : находим наименьшее из чисел x0. Обозначим это наименьшее число M0.

Оставим только те числа из A, представление которых в виде бесконечной десятичной дроби начинается с M0.

Найдём у этих чисел наименьший первый десятичный знак. Обозначим его M1. Далее рассматриваем только те числа, десятичное представление которых начинается с M0; M1. Находим у таких чисел наименьший второй десятичный знак, обозначаем его M2 и т. д.

20	Гл. 1. Действительные числа

Тогда число M := M0; M1M2 : : : является точной верхней гранью множества A. В самом деле, неравенство x 6 M выполняется для всех x 2 A по построению. А для любого M0 < M находим число x0 2 A такое, что x0 > M0, с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше.

Теорема доказана.

Теорема 1.3.2. Если непустое множество A ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю грань.

Доказательство. Введём множество B, состоящее из чиселx, где x 2 A.

Из ограниченности множества A снизу следует ограниченность множества B сверху. Значит, согласно теореме 1.3.1 множество B имеет точную верхнюю грань. Но sup B = inf A и, таким образом, множество A имеет точную нижнюю грань.

Теорема 1.3.3. Пусть множество A непусто.

Если 8 x 2 A справедливо неравенство x 6 K , то sup A 6 K . Если 8 x 2 A справедливо неравенство x > k, то inf A > k.

Доказательство. Так как x 6 K для всех x 2 A, то согласно теореме 1.3.1 sup A существует. А неравенство sup A 6 K следует из условия 2) определения точной верхней грани.

Для точной нижней грани рассуждения аналогичны. Теорема доказана.

Теорема 1.3.4. Для каждого числа a справедливо равенство a = sup , где точная верхняя грань берётся по всем рациональным числам 6 a.

Достаточно проверить, что для любого числа a0 < a найдётся рациональное число такое, что a0 < 6 a. А это следует из теоремы 1.2.1.

Точная верхняя и точная нижняя грани множества могут как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему. Например, число 1, которое является точной нижней гранью множества натуральных чисел N, принадлежит N. А если A – множество всех положительных чисел, то число 0 = inf A не принадлежит A.

Если sup A 2 A, то вместо sup A обычно пишут max A и говорят, что точная верхняя грань множества достигается. Если inf A 2 A, вместо inf A пишут min A. Если же точные грани