51(2 Листа!!!!!!!!!). Линейная независимость собственных векторов. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов. Оператор простой структуры

Теорема. Пусть собственные значения оператора различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы.

Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов. Для одного собственного вектора утверждение теоремы очевидно. Предположим, что утверждение теоремы верно для векторов. Добавим к этим векторам еще один вектор. Предположим, что эта система извекторов линейно зависима, т.е. существуют числа, одновременно не равные нулю, такие, что

. (*)

Применим к обеим частям равенства оператор :

.

Так как векторы - собственные, отвечающие различным собственным значениям, то:

. (**)

Вычтем из равенства (**) равенство (*), умноженное на :

.

Так как все числа различны, то из линейной независимости векторовследует равенство нулю коэффициентов. Но тогда из равенства (*) следует, что. Это означает, что векторылинейно независимы. Теорема доказана.

Следствие. Если характеристический многочлен линейного оператора имеет различных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

Действительно, если характеристический многочлен оператора имеет ровно различных корней, то оператор имеет различных собственных значений. Этим собственным значениям соответствуютсобственных векторов, причем они линейно независимы. Возьмем их в качестве базисных. Очевидно, в таком базисе матрица оператора будет диагональной,

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

   Теорема 19.2   Пусть  -- линейное преобразование -мерного линейного пространства.Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

(19.5)

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования , соответствующими собственным числам.

        Доказательство.     Пусть преобразование имеетлинейно независимых собственных векторов, соответствующих собственнымчислам . Так как векторылинейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразованияв этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора. Так как-- собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора . Второй столбец матрицыявляется координатным столбцом вектора.Так как -- собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразованияв базисеимеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора. Этот вектор имеет координатный столбец, его образ имеет координатный столбец

Следовательно,  -- собственное число преобразования , а -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор является собственным вектором преобразования, соответствующим собственному числу.    

        Следствие 19.2   Если у матрицы порядкасуществует набор излинейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам, то матрицаподобна диагональной матрице с числамина диагонали.