- •Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства
- •16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
- •19.Следствие из теоремы о базисном миноре: критерий линейной зависимости системы из m строк или столбцов
- •20. Понятие ранга системы столбцов(строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •21 Вопрос
- •24. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: Свойства решений, эквивалентное преобразование системы.
- •25. Понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности однородной системы.
- •31.Векторы в пространстве, линейные операции над ними и их свойства.
- •36. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •37. Векторное произведение векторов и его свойства
- •39. Смешанное произведение векторов : Свйосвта и вычесление
- •40. Общее уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках
- •41. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
- •47Переход к новому базису. М атрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
- •48. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора и ее использование при осуществлении действия оператора.
- •51(2 Листа!!!!!!!!!). Линейная независимость собственных векторов. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов. Оператор простой структуры
- •52(2 Листа). Понятие евклидова пространства.Аксиомы. Неравенство Коши-Буняковского
- •61. Тригонометрическая форма комплексного числа Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа(2 страницы)
47Переход к новому базису. М атрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
48. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора и ее использование при осуществлении действия оператора.
49. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису
13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах иперейти к новым базисам. Пустьи- новые базисы. Обозначим черезматрицу перехода отк, через- матрицу перехода отк. Тогда:
, .
Подставим в равенство (*):
.
Отсюда
.
Значит, при изменении базисов матрица отображения преобразуется в матрицу.
В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве . Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле.
Сканировать 129
50. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Характерестический многочлен и его независимость от выбора базиса.
14.2. Собственные векторы и собственные значения оператора. Попробуем решить задачу нахождения одномерных подпространств, инвариантных относительно оператора .
Определение. Пусть - вещественное (комплексное) линейное пространство. Ненулевой векторназывается собственным вектором оператора , если
для некоторого . При этом числоназывается собственным значением оператора .
Обозначим множество всех векторовиз, для которых выполняется равенство. Заметим, что еслии, то
.
Легко видеть, что является инвариантным подпространством, его ненулевые векторы являются собственными, отвечающими собственному значению.
Если вектор является собственным, отвечающим собственному значению, то выполняется равенство, откуда . Это означает, что ядро оператора нетривиально, следовательно, равен 0 определитель этого оператора. Зафиксируем базис пространства. Если в этом базисе матрица оператора равна
,
то равенство нулю определителя оператора запишется в виде:
.
Представив определитель как сумму произведений элементов матрицы (по определению), мы получим равенство, в левой части которого стоит многочлен степени от:
. Определение. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы
Пусть L— линейное пространствонадполемK,—линейное преобразование.
Собственным векторомлинейного преобразованияAназывается такой ненулевойвектор, что для некоторого
Ax = λx
Собственным значениемлинейного преобразованияAназывается такое число, для которого существует собственный вектор, то есть уравнениеAx= λxимеет ненулевое решение.
Упрощённо говоря, собственный вектор- любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называетсясобственным значениемоператора.
Собственным подпространствомлинейного преобразованияAдля данного собственного числаназывается множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим егоEλ. По определению,
где E— единичный оператор.