52(2 Листа). Понятие евклидова пространства.Аксиомы. Неравенство Коши-Буняковского

Если каждой паре векторов из линейного пространстваE поставлено в соответствие действительное число , так, что для любыхизE  и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

1. 

2. 

3. 

4. при ,,— нулевой вектор,

то говорят, что в линейном пространстве определено скалярное произведение .

Определение. Линейное пространство E называется евклидовым,если в нем определено скалярное произведение.

16.3. Неравенство Коши - Буняковского.

Теорема. Для любых векторов исправедливо неравенство

.

Доказательство. Так как скалярное произведение является положительно определенной формой, то

.

При фиксированных векторах имы имеем квадратный трехчлен от, дискриминант которого отрицательный или равен нулю:

.

Отсюда или. Теорема доказана.

Следствие (неравенство треугольника). Для любых векторов исправедливо неравенство

.

Доказательство.

следовательно, .

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть— норма, порождённая скалярным произведением, то есть. Тогда для любыхимеем:

Евклидово пространство(в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомамиевклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. называетсяn-мepноевекторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точкаМимеет координаты (х₁, х₂,..., x_n), а точкаМ*— координаты (x₁*, x₂*,...,x_n*), то расстояние между этими точками

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

53. Евклидово пространства: Примеры, неравенство треугольника\

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• размерности 1 (вещественная прямая)

• размерности 2 (евклидова плоскость)

• размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)

• Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Можно привести и несколько более абстрактные примеры:

• пространство вещественных многочленовстепени, не превосходящейn, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией)

• вообще пространство всех линейных комбинаций конечного набора вещественных функций

• пространство состояний конечномерной квантовой системы (или конечномерное подпространство полного пространства состояний) в вещественном представлении.

• Следствие (неравенство треугольника). Для любых векторов исправедливо неравенство

• .

• Доказательство.

• 

• следовательно, .

54. Ортогональность векторов. Процесс ортогонализации Шмидта. Существование ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве

Определение. Векторы иназываются ортогональными, если угол между ними равен, т.е..

Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Заметим, что из ортогональности векторов иследует теорема Пифагора:

.

Эту теорему можно обобщить на любое число попарно ортогональных векторов:

Процесс:

Процесс Грама (англ.) ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором полинейно независимойсистеместроитсяортогональная систематакая, что каждый векторb_i линейно выражается через , то естьматрица переходаот{a_i} к {b_i} ― верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система{b_i} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система {b_i} и матрица перехода определяются однозначно.

16.6. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. Пусть - произвольный базис евклидова пространства. Мы будем строить новый – ортонормированный – базис пространства.

В качестве первого вектора нового базиса возьмем вектор . Таким образом, длина вектораравна 1. Прежде, чем построить второй вектор нового базиса, построим вектор:

.

Вектор не может быть нулевым, поскольку векторыилинейно независимы. Заметим, что векторыиортогональны. В качестве второго базисного вектора возьмем вектор. Теперь будем строить третий базисный вектор. Сначала возьмем вектор

.

Этот вектор – ненулевой, так как векторы линейно независимы,- ортогонален векторами. Остается только нормировать его:. Алгоритм ясен: имеявектор нового базиса, мы построим сначала вектор

.

Этот вектор ненулевой и ортогональный векторам . Нормировав его, получаем-й вектор нового базиса.

Теорема. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

55. Ортонормированные базисы и их свойства

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

            Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Теорема. В любом конечномерном пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство теоремы немедленно следует из того, что существует базис , в котором квадратичная форма, соответствующая скалярному произведению, имеет канонический вид

,

(). В этом базисе скалярное произведение векторовизадается формулой. Но это и означает, что базисортонормированный.

Свойства:

в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса.

56.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лангаржа.

57. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестраопределяет, является лисимметричнаяквадратнаяматрицаположительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная формаимеет в каком-тобазисематрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) минорыΔ_iположительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ_iчередуются, причём Δ₁< 0. Здесьглавнымиминорами матрицыAназываются определители вида

Для неотрицательно определённыхматриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v) = − 2 дляv= (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые минорыеё матрицы строго положительны.

58.Кривые второго порядка: Канонические уравнения и форма:

Эллипс

Эллипс, его фокусы и главные оси

Гипербола

Асимптотыгиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы,C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисыгиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначеныD₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ±a.

Парабола

59. Поверхности второго порядка

Эллиптический цилиндр:

Параболический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

Эллипсоид: Однополостной

гиперболоид:

Двуполостной гиперболоид: Эллиптическийпараболоид:

60. Комплексные числа: Сложение, вычитание, умножение и деление в алгебраической форме

1. Понятие комплексного числа. Из школьного курса математики известно, что действительных чисел недостаточно для решения квадратных уравнений. Простейшее из квадратных уравнений не имеет корней среди действительных чисел. Попробуем расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, чтобы это уравнение имело решение.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат с осью абсцисс и осью ординат. Будем обозначатьточку с абсциссойи ординатой. Определим на множестве точек плоскости (другими словами, на упорядоченных парах действительных чисел) операции сложения и умножения следующим образом:

Заметим, что

,

Поэтому точки, лежащие на оси можно считать точками действительной оси, и мы не будем различать точкуи действительное число.

Кроме того,

Традиционно эту точку обозначают буквой .

Учитывая, что для R иполучаем:

В этой записи операции сложения и умножения выглядят так:

т.е. эти операции выполняются как с обычными двучленами с учетом равенства

Пусть дано число . Назовем числосопряженным числу. Заметим, что

Определив операции сложения и умножения, естественно ввести обратные операции вычитания и деления:

Последняя формула довольно громоздка, и запоминать ее не стоит. Следует только знать, что для вычисления дроби нужно числитель и знаменатель умножить на сопряженное знаменателю число.

Итак, построенная система чисел с алгебраическими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла— расширение множествавещественных чисел. обычно обозначается. Каждое комплексное числоzпредставляет собой суммуx+iy, гдеxиyвещественные, аiэто так называемая мнимая единица, являющейся корнем уравненияi²= − 1

Множество комплексных чисел обозначается в литературе как (ажурное), а иногда какC(простое),(полужирное).