31.Векторы в пространстве, линейные операции над ними и их свойства.

Линейные операции над векторами

Опр1: Вектор - направленный отрезок.

A – начало, В – конец.Если А=В=

1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;

2),,- компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;

3) =, если а)||=||;б)

Опр2:Суммой векторов ,назовем вектор, такой что:

Опр3:Произведением на вещественно числоназовем:

1)||=

2) ,>0

,<0

Утв:Множество векторов(направленных отрезков) с операциями , введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.

Свойства линейных операций над векторами:

1) +=+

2) (+)+=+(+)

3) (+)=+

4)

5)

6) :+=

7)

8)

Опр4: если

Длинна вктора = x2+y2+z2 в корне

32. Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве

Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.

Опр1. Вектор ,называется базисом на прямой L, если вектор,||L может быть записан в виде

Опр2.Два линейно независимых вектора , лежащие в плоскости P, называются базисом на плоскости Р, если вектор, лежащий на плоскости Р можно записать в виде.

Опр3.Три линейно независимых вектора называются базисом в пространстве, есливекторможет быть записан в виде

Теорема

Любой ненулевой вектор ,образует базис на прямой L.

Любая пара неколлинеарных векторов , лежащих в плоскости Р образует базис на плоскости Р

Любая тройка некомпланарых векторов образует базис в пространстве.

Док-во: самостоятельно

(1) на прямой

(2) на плоскости

(3) в пространстве

Опр4 Правые части формул (1),(2),(3) называются разложением векторов по базисам;;соответственно, числасоответственными координатами.

Теорема1:Разложение по базису единственно(самостоятельно!)

Теорема2:При сложении векторов их соответственные координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

Напомним, что упорядоченный набор векторов образует базис, если:

1) эти векторы линейно независимы,

2) любой вектор в пространстве линейно выражается через них.

Теорема 4. Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

Доказательство теоремы очевидно: любые три некомпланарных вектора линейно независимы и любой вектор является их линейной комбинацией. Справедлива также

Теорема 4а. Любые два неколлинеарных вектора, лежащие в плоскости, образуют базис в этой плоскости.

Напомним, что равенство

называют разложением вектора по базису , а числа - координатами векторав базисе. Эти координаты определены однозначно.

Зафиксировав базис в пространстве свободных векторов и точку в пространстве – ее называютначалом координат, - мы можем определить так называемые аффинные координаты произвольной точки нашего пространства.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов е1, e2,e3 назвается базисом в множестве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть представлен единственным образом в виде:

А = x1e1+x2e2+x2e3. Числа x1,x2,x3 называются координатами вектора а в базисе (e1,e2,e3)

34. Понятие проекции вектора на ось. Свойства проекций!

Свойство 2: Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось. Свойство 3: При умножение вектора а на число b его проекция умножается на это число

Проекция а = а*cosф. Сosф = (а^e) – угол между а и е(один из базис векторов)

35.Прямоугольная система координат. Нахождение координат вектора по координатам его начала и конца

Прямоугольная система координат в пространствеобразуется тремя взаимно перпендикулярными осями координатOX,OYиOZ. Оси координат пересекаются в точкеO, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным).OX—ось абсцисс,OY—ось ординат,OZ—ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направлениеY, а средний за направлениеZ, то образуетсяправаясистема координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте осиOXпротив часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением осиOY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления осиOZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

Рис. 2

Положение точки Aв пространстве определяется тремя координатамиx,yиz. Координатаxравна длине отрезкаOB, координатаy— длине отрезкаOC, координатаz— длине отрезкаODв выбранных единицах измерения. ОтрезкиOB,OCиODопределяются плоскостями, проведёнными из точкиAпараллельно плоскостямYOZ,XOZиXOYсоответственно. Координатаxназывается абсциссой точкиA, координатаy— ординатой точкиA, координатаz—аппликатойточкиA. Записывают так:.

33.Геометрические векторы их координаты, линейные операции над ними и их свойствОсновные понятия. Геометрическим вектором(или просто вектором) будем называть направленный отрезок. Обозначать его будем, где- начало вектора,- конец вектора, или одной буквой. Начало вектора называют ещеточкой приложениявектора. Длину вектора будем обозначать, используя знак модуля:или.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Определение.Векторы называютсяколлинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение.Два вектора называютсяравными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Все нулевые векторы считаются равными.