39. Смешанное произведение векторов : Свйосвта и вычесление

Вычисление смешанного произведения в декартовых координатах.

Теорема. Если в декартовой прямоугольной системе координат

, ,,

то

.

Доказательство. По определению смешанного произведения

.

Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство .

Действительно, в силу коммутативности скалярного произведения. Значит, нам надо показать, что. С точностью до знака обе части равенства равны объему параллелепипеда, построенного на векторах. А знак их совпадает, поскольку тройки векторовиимеют одинаковую ориентацию.

Равенство позволяет записывать смешанное произведение просто в виде, не учитывая, какие именно вектора участвуют в векторном произведении.

Следствие 2. Для компланарности трех векторов необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения.

Смешанное произведение кососимметричнопо отношению ко всем своим аргументам:

т.е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равноопределителюматрицы, составленной из векторови:

В частности,

Если три вектора линейно зависимы(т.е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёмупараллелепипеда(см. рисунок), образованного векторамии; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

40. Общее уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках

Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат 0xyz может быть задана уравнением одного из следующих видов

Аx+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости

11.1 Общее уравнение плоскости. Зафиксируем декартову прямоугольную систему координат. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени

. (*)

Заметим, что хотя бы один из коэффициентов не равен нулю (иначе это уравнение имело бы нулевую степень). Тогда уравнение (*) имеет хотя бы одно решение, т.е. существует хотя бы одна точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (*):

. (**)

Вычтем из уравнения (*) уравнение (**):

. (***)

Уравнение (***) эквивалентно уравнению (*), т.е. если координаты точки удовлетворяют уравнению (*), то они удовлетворяют уравнению (***), и наоборот.

Обозначим вектор с координатами. Пусть- плоскость, проходящая через точкуи перпендикулярная вектору. Если точкалежит в плоскости, то векторперпендикулярен вектору, скалярное произведение этих векторов равно 0. Тогда координаты точкиудовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*). Если же точкане лежит в плоскости, то векторыине перпендикулярны, и скалярное произведение этих векторов не равно 0. Значит, в этом случае координаты точкине удовлетворяют уравнению (***) и уравнению (*).

Пусть теперь дана произвольная плоскость. Выберем вектор , перпендикулярный этой плоскости, и произвольную точку, лежащую в этой плоскости. Еслипроизвольная точка плоскости, то векторыиперпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*), являющимся уравнением первой степени. Мы доказали

Утверждение. Произвольная плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени. Обратно, любое уравнение первой степени определяет в пространстве плоскость.

Уравнение (*) называется общим уравнением плоскости.

11.3. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости (*) называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля. В противном случае оно называется неполным. Неполные уравнения задают плоскость, проходящую через начало координат, параллельную какой-либо координатной оси или параллельную какой-либо координатной плоскости. Все эти случаи несложно рассмотреть.

Мы же рассмотрим полное уравнение плоскости. Так как все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля, его можно переписать в виде:

,

где .

Этот вид уравнения плоскости называется уравнением плоскости в отрезках.