- •Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства
- •16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
- •19.Следствие из теоремы о базисном миноре: критерий линейной зависимости системы из m строк или столбцов
- •20. Понятие ранга системы столбцов(строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •21 Вопрос
- •24. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: Свойства решений, эквивалентное преобразование системы.
- •25. Понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности однородной системы.
- •31.Векторы в пространстве, линейные операции над ними и их свойства.
- •36. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •37. Векторное произведение векторов и его свойства
- •39. Смешанное произведение векторов : Свйосвта и вычесление
- •40. Общее уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках
- •41. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.
- •47Переход к новому базису. М атрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
- •48. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора и ее использование при осуществлении действия оператора.
- •51(2 Листа!!!!!!!!!). Линейная независимость собственных векторов. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов. Оператор простой структуры
- •52(2 Листа). Понятие евклидова пространства.Аксиомы. Неравенство Коши-Буняковского
- •61. Тригонометрическая форма комплексного числа Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа(2 страницы)
61. Тригонометрическая форма комплексного числа Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа(2 страницы)
2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Форма записи комплексного числа называетсяалгебраической. Число называетсядействительной частью комплексного числа ,-мнимой частью. Обозначение:
Кроме этой формы существует другая – тригонометрическая. Сначала введем некоторые понятия.
Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число
Геометрический смысл модуля прост – это расстояние от начала координат до точки плоскости, соответствующей комплексному числу .
Аргументом комплексного числа называют угол между положительным направлением осии радиус-вектором точки(отсчитываемый в положительном направлении):
Аргумент может принимать любые значения, но при заданном модуле углы, отличающиеся на Z , соответствуют одному и тому же числу .
Для числа 0 аргумент не определен.
Действительная и мнимая части комплексного числа связаны с модулем и аргументом очевидными соотношениями:
Тогда
Это и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа .
Заметим, что операции сложения и вычитания выглядят в алгебраической форме просто и естественно, но формулы для умножения и деления кажутся весьма громоздкими. Если же мы перейдем к тригонометрической форме записи комплексного числа, то получим:
Итак, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.
Несложно показать, что при делении модули делятся, а аргументы вычитаются: так как топоэтомуиЗначит,и
3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Из формулы для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме сразу же следует формула для возведения комплексного числа в степень – формула Муавра:
Теперь попробуем извлечь из комплексного числа корень произвольной степени. В отличие от действительных чисел это всегда возможно. Пусть дано комплексное число . Мы должны найти такое комплексное число,что, т.е.. Это означает, чтои. Отсюдаи. Если при одном и том же модуле аргументы отличаются наZ, то они определяют одно и то же комплексное число. Значит, различные корни мы получим, когда пробегает числа 0,1,…. Остальные значенияновых корней не дадут.
Геометрически это выглядит так: корни -й степени из комплексного числанаходятся на окружности с центром в начале координат радиусав вершинах правильного-угольника.
4. Важное замечание. Мы расширили систему действительных чисел с целью иметь возможность решить уравнение и, как следствие, все квадратные уравнения. Как мы видим, в построенной системе комплексных чисел можно еще и извлекать корни любой степени, т.е.решать алгебраические уравнения вида. Оказывается, произвольный многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень, более того, он имеет ровнокомплексных корней с учетом их кратностей. Это утверждение называетсяосновной теоремой алгебры, но доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса.