16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение: Ранг матрицы A – максимальный порядок неравного нулю минора.

Обозначается: RangA, r(A).

Определение: Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным. Строки и столбцы, формирующий базисный минор, называются базисными строками и столбцами.Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).  

Определение. Базисный минор – ненулевой минор максимального порядка.

Теорема (о базисном миноре). Порядок базисного минора равен рангу матрицы.

Доказательство. 1). Покажем, что если минор отличен от нуля, то строкилинейно независимы. Допустим противное. Пусть эти строки линейно зависимы, т.е. одна из строк, например,линейно выражается через остальные:

Тогда в миноре вычтем из последней строки эту линейную комбинацию строк – получим нулевую строку. Пользуясь свойствами определителя, получаем равенство нулю этого минора.

2). Покажем, что если минор базисный, то все строки матрицы линейно выражаются через. Составим определитель порядка, добавив к строкам еще одну строку – с номером, а к столбцам – еще один столбец – с номером:

Определитель такой матрицы равен нулю: если совпадает с одним из номеровили номерсовпадает с одним из номеров,то мы получаем матрицу с одинаковыми строками или столбцами. Если же ни, нине совпадают с номерами строк или столбцов соответственно, то определитель равен нулю по определению базисного минора.

Разложим этот определитель по последнему столбцу:

.

Но - это и есть базисный минор! Значит,

.

Заметив, что алгебраические дополнения не зависят от(а только от элементов базисного минора и-й строки), получаем, что-я строка линейно выражается через строки, входящие в базисный минор.

Подведем итог. Мы получили, что строки, входящие в базисный минор, линейно независимы, а все остальные строки линейно выражаются через них. Значит, эти строки образуют максимальную линейно независимую систему во множестве строк матрицы, и их количество – т.е. порядок базисного минора – равно рангу матрицы. Теорема доказана.

17.Следствие из теоремы о базисном миноре: о линейной зависимости системы строк определителя, равного нулю: аналогичный результат для столбцов

Если A — квадратная матрица, и det A = 0 <=> строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

18. Следствие из теоремы о базисном миноре: О линейной зависимости системы из (n+1) строки длинною из n элементов

Ответ:

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, т.е. если r — ранг матрицы, то в матрице есть r линейно независимых строк (столбцов), а любые r+1 строк (столбцов) — линейно зависимы.

19.Следствие из теоремы о базисном миноре: критерий линейной зависимости системы из m строк или столбцов

Ответ: Пусть r = rang A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.