PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

Математическая модель простейшей ЭЭС для расчёта динамической устойчивости с АРВ ПД.

Модель простейшей ЭЭС:

1)Считаем, что генераторы неявнополюсные, заданы моделью 3-го порядка: уравнение движения ротора, уравнение переходных процессов в обмотке возбуждения. Генераторы оснащены АРВПД , представленные упрощенной 2-х звенной моделью

2)мощности турбин остаются постоянными;

3)переходные процессы в демпферных контурах не учитываются т.е. модель

ЭЭС представляется моделью 5-го порядкаабсолютный угол

				T j			d 2		Pт P		(1)
				ном			dt 2
					dE'q
			Td 0						Eq Eqe		(2)
							dt
							Для АРВ ПД:
							k0u
										U	г0 U г (3)
	Eqe
			1 pTp 1 pTp

Данный закон регулирования даёт два дифференциальных уравнения:

Te dEqe Eq U АРВ для возбудителя dt

Tp dU АРВ U АРВ k0u U г0 U г для регулятора dt

Процесс приведения к форме Коши аналогичен приведению модели ЭС к нормальной форме. Отличие заключается в том, что при расчёте динамической устойчивости модель не надо линеаризовать, в отличие от расчётов статической устойчивости. Модель является однолинейной и на неё могут накладываться ограничения на Eqe , Pт ,U АРВ . Модель рассматриваемой системы в форме Ко-

ши имеет вид:

91

d

S

dt

dS

ном

Pт P

dt

T j

dE'

q

1

Eqe Eq

dt

Td 0

dE

qe

1

U АРВ Eq

dt

Te

dU

АРВ

1

АРВ

k

(U

U

)

U

0u

г0

г

dt

Tp

В этой системе не определены несколько параметров в правой части: Eq , P,U Г .

Для начала первого шага расчёта переходного процесса необходимо определить правую часть (вычислить так называемые начальные значения). Для этого система дополняется алгебраическими уравнениями связи. Для t t0 0 т.е. до начала переходного процесса ЭЭС существует нормальный УР. Все правые части f=0.

S

ном

Pт P

T j

S

1

Eqe Eq

E'q

T

d 0

E

qe

1

U АРВ Eqe Eqe0

Te

U

АРВ

1

АРВ

k

(U

U

)

U

0u

г0

г

T

p

На ряд параметров могут быть наложены ограничения Eqemin Eqe Eqemax

В момент t=0 в системе возникает возмущение (К.З.).

Для момента возмущения должны быть пересчитаны матрицы узловых проводимостей, режим ЭЭС и по отношению к УР в правой части возникнет небаланс, который приведёт к небалансу в уравнении движения. И этот новый пересчитанный режим будет являться начальным условием для расчёта переходного процесса.

92

Так как Рт=const, то на валу генератора возникает небаланс, который приводит к возникновению электромеханического переходного процесса.

Математическая модель для расчёта длительного переходного процесса должна учитывать изменение f в ЭС. Поэтому математическая модель ЭС для расчёта динамической устойчивости должна быть дополнена моделями регулирования частоты и мощности (АРЧМ) и частотными характеристиками двигательной нагрузки в узлах ЭС (если есть).

Действие АРС турбины

dPт					1		a1 т
dt				TП
d				1		a2 S
dt		TS

т p0 1 Pном т

доля регулирования мощности турбины с промежуточным перегревом,коэффициент открытия регулирующего аппарата,

S скольжение,

TП постоянная времени парового объема,

TS постоянная времени регулятора скорости,

TS постоянная времени регулятора скорости. a1, a2 – постоянные коэффициенты.

Условия для начала расчёта ПП – не нулевые элементы в правой части.

Лекция №17

Методы расчета переходных процессов. Решение проблемы жесткости системы дифференциальных уравнений.

Задача расчёта переходных процессов с математической точки зрения сводится к решению задачи Коши. В задаче Коши требуется предсказать поведение динамической системы для t t0 при условии, что начальное состояние системы в мо-

мент t t0 известно. Элементы вектора правой части известны и не равны 0.

Для системы, поведение которой описывается системной дифференциальных уравнений:

y'i fi t,y1,y2 , ,yn	i 1,2, ,n
	93

необходимо на конечном отрезке времени [t0 ,T ] найти решение yi (t) , которое

будет удовлетворять следующим начальным условиям: yi( t0 ) yi0 i 1,2, ,n

Решение yi (t) называется интегральными кривыми. Процесс нахождения реше-

ния системы дифференциальных уравнений называется интегрированием этой системы.

Для исследования динамической устойчивости используются различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений ПП.

Общепринятый подход заключается в переходе к дискретной задаче Коши. Это

значит, что решение

y(t) вычисляется не на всём непрерывном отрезке [t0 ,T ], а

только в некотором конечном числе дискретных точек, которые называются узла-

ми сетки.

t0

t1

t2 ....... tk 1

tk tn T

20кВ

шаг h1

hk

Величина между соседними узлами называется шагом сетки hk tk tk 1 . Шаг сетки может быть как переменным, так и постоянным. Если шаг постоянный, то:

h hk	T t0		tk t0 k h
	n
Решая	дискретную			задачу	Коши последовательно		определяются			значения
y1, y2 ,...yn .			Эти	значения	играют	роль приближений			к	решениям
y1 y(t1)...yk		y(tk ) . Для вычисления приближения значения						yk	надо знать при-
ближения yk 1,yk 2 , ,y0
Но так как приближение yk вычисляется по ранее найденным								yk 1,k 2		,то нико-
гда не получаем точного решения, оно всегда будет приближенным.
Если формула, по которой вычисляется yk						зависит явно от yk 1 , то метод числен-
ного интегрирования называется одношаговым. yk yk 1
Если yk	вычисляется по двум ранее (на предыдущих шагах) найденным значени-
ям или более, то такой метод называется многошаговым.							yk yk 1,yk 2

Кроме того методы численного интегрирования можно разделить на явные и не-

явные. Простейшим аналогом дифференциального уравнения является разностная

аппроксимация производной в левой части

94

	y' f t, y	y'	dy		y
			dt		t

или на каждом шаге:

		y
20кВ	yk 1	yk	f ( t
				k	, y	k	)
	h

t

Если это уравнение расписать относительно yk 1 , то получим

k 1 k h f (tk , k ) - формула явного метода Эйлера (одношаговый, явный)

Метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге-Кутта 1-го порядка точности. Решения методами Рунге-Кутта согласуются с решениями y(t), которые полу-

чаются из разложения методом Тейлора (оставляются только члены с шагом h p , где p-порядок метода. Все методы Рунге-Кутта от 1-го до 4-го порядка точности являются одношаговыми. Это позволяет начать поиск решения, используя начальные приближения (условия) – самостартующиеся методы. Эта особенность метода допускает изменение шага расчёта, что даёт возможность строить алгоритмы с автоматическим выбором шага. Наиболее часто используется метод 4-го порядка точности:

k 1 = k h kn , где

kn 16 (k1 2 k2 2 k3 k4 ) k1 f (tn , yn )

k2 f (tn h2 , yn h2 k1)

k3 f (tn h2 , yn h2 k2 ) k4 f (tn h, yn h k3 )

h4 поэтому метод 4-го порядка

Все методы Рунге-Кутта являются явными, так как функция в правой части дифференциальных уравнений на каждом шаге не зависит от вычисленных значений yn 1 , а определяются ранее найденными значениями.

Методы, в которых функция правой части зависит от еще не вычисленных значений yn 1 называются неявными.

Простейшим одношаговым является неявный метод Эйлера yk 1 yk h f ( tk 1, yk 1 )

Неявный метод 2-го порядка – метод трапеции

95

yk 1 yk h2 [ f tk , yk f tk 1, yk 1 ]

Любой неявный метод предполагает только итерационное решение.

При реализации неявных методов возникает необходимость решения на каждом шаге нелинейного уравнения относительно yk 1 . Так как уравнения нелинейные –

используются итерационные методы. Наилучший из них – метод Ньютона. Наиболее распространенным является сочетание явных и неявных методов.

К многошаговым относится метод прогноза и коррекции, основанный на методе Адамса-Башфорта – явном методе прогноза и неявном методе Адамса-Моултона (коррекция).

Прогноз:

ykпр1 yk 24h 55 fk 59 fk 1 37 fk 2 9 fk 3 явный метод, функция от этой величины – функция правой части

fkпр1 f tk 1, ykпр1

Коррекция:

ykкорр1 yk 24h 9 fkпр1 19 fk 5 fk 1 fk 2 – неявный метод

Многошаговые методы не являются самостартующимися, так как используют значения функции на предыдущих шагах. Для вычисления первых 3-х-5-ти значений функций можно использовать метод Рунге-Кутта 4-го порядка – явный одношаговый метод и только после этого использовать многошаговый метод. (Метод Эйлера 1-го порядка дает большую ошибку).

Итак, все методы интегрирования делятся на следующие основные категории: явные и неявные, одношаговые и многошаговые.

Вявных методах формулы интегрирования применяются непосредственно к каждому из дифференциальных уравнений интегрируемой системы уравнений.

Внеявных методах дифференциальные уравнения приводятся к алгебраическим и далее решается полученная система алгебраических уравнений. Это более сложно, но приводит к большей устойчивости вычислительного процесса. (Численная устойчивость метода интегрирования определяется характером изменения погрешности на большом числе последовательных шагов. В неустойчивом методе погрешность накапливается и, в конечном итоге, резко возрастая, не позволяет получить истинное решение). Неявные методы наиболее предпочтительны для решения жестких задач (неявный метод Эйлера). Недостатком неявных методов по сравнению с явными является необходимость решения нелинейных уравнений на каждом шаге интегрирования.

Водношаговых методах не используется информация, полученная на предыдущих шагах интегрирования, т.е. эти методы самоначинающиеся (метод Эйлера, Рунге-Кутта), что удобно при разрывах непрерывности. Однако, эти методы менее устойчивы, чем методы неявного интегрирования.

96

Многошаговые методы требуют запоминания предыдущих значений переменных или их производных. Однако, при разрывах непрерывности необходимо повторно определять большое число начальных значений. В большинстве многошаговых методов применяются интерполяционные (прогноз) и экстраполяционные (коррекция) разностные формулы, среди которых наиболее известны формулы Адамса.

Есть несколько простых формул, попадающих в категорию многошаговых и являющихся самоначинающимися. К ним относятся формулы прямого и неявного интегрирования Эйлера, неявные правила трапеции и средней точки.

Важной особенностью уравнений, используемых для расчёта переходных процессов является то, что детализация математического описания динамических элементов ЭЭС (например, учёт демпферных контуров и АРВ синхронных генераторов) приводит, как правило, к увеличению жесткости системы дифференциальных уравнений (определяемой диапазоном значений постоянных времени).

Система считается жесткой, если отношения наибольшей постоянной времени к наименьшей велико. Особым источником жесткости являются малые постоянные времени элементов регулятора возбуждения. Решение жесткой системы дифференциальных уравнений требует уменьшения шага интегрирования, что приводит к снижению вычислительной эффективности расчётов. Преимущества высокоустойчивых методов перед слабоустойчивыми уменьшаются по мере снижения жесткости решаемых задач.

Достоинства одношаговых методов состоят в том, что они:

1)Самостартующие. Для начала расчёта нет необходимости в предварительном вычислении, так как в расчёте не учитываются значения предыдущих шагов;

2)Шаг интегрирования может быть изменен в любой момент в процессе вы-

числения. Это облегчает учёт разрывности. Недостатки одношаговых методов состоят в:

а) необходимости многократных вычислений функции правых частей f дифференциальных уравнений на каждом шаге интегрирования;

б) отсутствии простых средств оценки погрешности (накопления ошибки) и контроля шага, интегрирования

в) необходимости выбора малого шага интегрирования для достижения требуемой точности решения. Это делает невозможным использование этих методов для решения жестких задач, к которым относится расчёт переходных процессов в энергосистеме.

Жесткость задачи Жесткими называются задачи, моделирующие переходные процессы, компоненты которых имеют не соизмеримые времена затухания.

97

x		x

t	t

Оценить жесткость модели можно по действительным частям СЗ матрицы состояния i Re( i )

Длительность основного решения определяется коэффициентом затухания доминирующей (системной) моды ЭМК 0.5с 1

Эта длительность может составлять от нескольких секунд до нескольких десятков секунд (минут). Учёт малых постоянных времени САР, демпферных контуров СМ и т.д. обуславливает наличие в основном апериодических составляющих движения с очень высоким затуханием.

Например, для АРВ

T	p(АРВ)	0.05с дает					1		1	20с 1 , A 5 108 раз , т.е. за
							Tp( АРВ )		0.05

1 сек. амплитуда уменьшится в 5 108 раз .

Для явных методов необходимо выбирать шаг интегрирования из условия:

h	1					min(T )	(1)
	max

Тогда проблема жесткости не возникает. Она возникает при нарушении условия

(1) min(Tв системе ) 0.005 – на порядок ниже. Если взять шаг > чем min T, то может наблюдаться неустойчивость численного метода в виде катастрофически нарастающей ошибки с характерными колебаниями (ломаные осцилляции).

98

y

ломаные

колебания

t

И

значально на участке времени, когда быстрые процессы уже затухнут, а основной процесс будет медленно меняющимся. Поэтому для решения жестких задач обычно применяют неявные методы, которые обладают большей устойчивостью метода.

Если шаг h выбран верно, то проблем жесткости не наблюдается. Достоинства многошаговых методов в том, что:

1)Имеют относительно малый объем вычислений производных

2)Возможность контроля шага интегрирования

3)Возможность оценки погрешности решения не только на каждом шаге, но и накопленном в процессе интегрирования

Недостатки многошаговых методов состоят в:

1)Сложности учёта разрывности (коммутаций) в процессе решения

2)Для начала вычисления необходимо определить каким-либо способом (одношаговые методы) некоторое число начальных точек. Причем число точек зависит от порядка метода и они должны быть вычислены с точностью, превышающей точность всего метода. Уменьшаются по мере снижения жесткости задач.

Лекция №18

Особенности организации вычислительного процесса при расчётах динамической устойчивости на ЭВМ.

Современные программные комплексы на ЭВМ для исследования переходных процессов сложных ЭЭС), как правило, состоят из двух основных программ:

1.расчёт установившегося режима для определения начальных значений переменных, интегрируемых в процессе расчёта динамической устойчивости;

2.расчёт переходных процессов с возможностью моделирования действий противоаварийной автоматики.

99

В наиболее широко распространенном программном комплексе МУСТАНГ установившийся режим описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, записанных в форме баланса активной и реактивной мощности в узле:

PГi Pнi			Pij 0
			j	i	, где
Q		Q	Q 0
	Гi	нi		ij
			j	i

PГi ,QГi генерация активной и реактивной мощности в i узле Pнi ,Qнi активная и реактивная нагрузки i го узла

Pij ,Qij перетоки активной и реактивной мощности по линиям электропередач, связанным с узлом i.

Решение данной системы нелинейных алгебраических уравнений осуществляется методом Ньютона-Рафсона с оптимизацией порядка исключения переменных с целью наименьшего расширения матрицы Якоби.

Расчёт переходного процесса состоит в решении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с заданными начальными условиями. Для больших систем, описываемых тысячами уравнений, расчёт одного переходного процесса может потребовать около часа машинного времени современной мощной ЭВМ. Способы учёта взаимосвязи систем дифференциальных и алгебраических уравнений делятся на раздельные и одновременные.

При расчёте переходных процессов в промышленных программах, как правило, используется раздельный метод решения систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение синхронных машин и комплексной нагрузки и системы линейных (на каждом шаге интегрирования) алгебраических уравнений, описывающих пассивную часть электрической сети.

В программе МУСТАНГ для решения системы дифференциальных уравнений применяется комбинация различных методов численного интегрирования в зависимости от вида уравнений.

Для решения дифференциальных уравнений, описывающих электромеханическое движение ротора синхронной машины используется метод

				d			S
					dt
dS					ном
								( P - P )
dt			T					т	эл
						j	*		*

прогноз-коррекции 4-го порядка типа Адамса с переменным шагом.

100