PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

a	( 1)n a	p	p ...p	p , откуда	an	(1)n p	p ...p	p .
n	0	1	2 n 1	n	a0	1	2 n 1	n

Переход из левой полуплоскости в правую пары комплексно сопряженных

	an
корней не изменит знак	a0	, т.к.		j		j

2 j j 2 2 2 – именно поэтому заранее оговариваем, что само-

раскачивание исключено, и нарушение статической устойчивости может носить только апериодический характер, т.к. только переход действительного корня из левой полуплоскости в правую (т.е. апериодическое нарушение устойчивости)

может изменить знак отношения an и тогда необ- a0

ходимое условие апериодической статической устойчивости в более общем виде имеет вид

singn an idem .a0

Для схемы:

система будет апериодически устойчива, если будет неизменным знак an при

утяжелении режима из заведомо устойчивого состояния системы.

Итак, режим, при котором an 0 называется предельным по апериодической статической устойчивости. В то же самое время для этой схемы an 0 – это и предел

существования режима Pmax Uг U xc

dP 0 – граница существования режима (и предела апериодической устой- d

чивости), т.е. a dP 0 – предел апериодической устойчивости и предел пере-

n d

даваемой мощности в простейшей системе совпадают.

Понятие предела существования режима и предела апериодической статической устойчивости близки, но не идентичны. В расчетах сложных ЭЭС практика показывает, что они очень редко совпадают. Чаще всего, когда ЭС при утяжелении режима выходит на границу существования режима, при этом она может быть далека от предела апериодической устойчивости. Это относится к случаям, когда на те или иные параметры ЭС накладываются технические ограничения: на

11

напряжения U в узлах нагрузки, на реактивную мощность генераторов Qгmin ,

Qгmax .

ЭЭС не может работать в предельном по существованию режиме, она должна обладать запасом по статической апериодической устойчивости, т.е. исходя из того, что в нормальном режиме:

kзp PпрP P0 20% P0 0,8Pпр

пр

а в послеаварийном режиме kзp 8% P0 0,92Pпр .

Для оценки запаса устойчивости необходимо знать предельные режимы. Классический подход к исследованию апериодической статической устойчи-

вости и определению предельного по апериодической устойчивости режима требует выполнения следующих этапов расчета:

1)Определение параметров исследуемого установившегося режима;

2)Вычисление свободного члена характеристического уравнения an .

Для этого требуется записать дифференциальные уравнения полной системы, линеаризованные в окрестности установившегося режима, затем сформировать характеристический определитель D( p) и при подстановке p 0 получить

an D(0) . an 0 система устойчива an 0 система не устойчива.

В случае устойчивости системы an 0 следует утяжелить исходный режим и вернуться к п.1. И так до тех пор, пока an не изменит знак.

Лекция №3

Современные алгоритмы проверки статической апериодической устойчивости.

Широкое применение ЭВМ вызвало к жизни развитие методов, в которых предполагается полностью или в значительной степени совместить эти два этапа. Поскольку в любом случае нас интересует оценка Рпред с точки зрения kзР, то есть смысл совместить расчет режима с оценкой апериодической статической устойчивости.

Первый подход – оценка апериодической статической устойчивости по сходимости соответствующим образом организованного итерационного расчета установившегося режима (в частности, можно наблюдать при утяжелении режима нарушение сходимости метода Зейделя).

Второй подход – оценка an в процессе расчета установившихся режимов

ЭЭС, реализующих метод Ньютона.

Метод Ньютона, который нашел широкое применение в программах расчета установившихся режимов, требует вычисления матрицы коэффициентов линеари-

12

зованных уравнений установившегося режима (УР) (матрицы Якоби).

С другой стороны, поскольку an – определитель системы линеаризованных

дифференциальных уравнений переходных процессов (ПП) в системе при р = 0, то при определенных условиях он может совпадать с определителем матрицы Якоби – якобианом J.

Связь якобиана уравнений УР ( J ) и свободного члена характеристического уравнения ( an )

Итак, задача состоит в том, чтобы определить в общем виде структуру матрицы Якоби и характеристического определителя при р=0, т.е. D(0) an – свобод-

ного члена характеристического уравнения, и найти условия, при которых эти структуры будут совпадать. В том случае, если эти условия будут выполнены для оценки апериодической статической устойчивости не потребуется формировать характеристический определитель и искать его значение при р = 0, т.е. an , а дос-

таточно будет вычислить определитель матрицы Якоби, сформированной для рассчитанного методом Ньютона режима (на последней итерации итерационного процесса расчета УР), проверяемого на устойчивость.

Структура матрицы Якоби в расчете УР

Прошедшей весной мы с вами подробно рассмотрели расчет УР методом Ньютона, который сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений W x 0 . Итерационная формула этого метода имеет вид

W			( k 1)	x(k ) W x(k 1) .
x		x

При записи узловых уравнений в форме баланса мощности в полярной сис-

ν

теме координат вектор приращения неизвестных имеет вид x (в данном

U

курсе фазы векторов напряжений в узлах вместо δ обозначим , частные производные в матрице Якоби во избежание излишней громоздкости вместо

WP		WQ	нб	и т.д. будем обозначать	P		Q	нб	и т.д.).
нб	,				нб	,
		U					U
ν					ν

Тогда матрица Якоби в блочно-матричной записи имеет вид

	Pнб						Pнб
W
			ν				U
x		Qнб				Qнб
			ν
							U

Необходимо вспомнить также, что для опорных генераторных узлов Рг-Uг при формировании системы уравнений для расчета УР методом Ньютона уравнения баланса реактивной мощности – вычеркиваются (а Qг в этих узлах находим

13

после решения системы уравнений порядка [2(n-1)-k] из вычеркнутых уравнений баланса Q для данных опорных узлов).

Итак, для сложной ЭЭС, содержащей n узлов + один БУ (т.е. n узлов в схеме, не считая балансирующего) сформируем матрицу Якоби.

Пусть:

1)Узлы i=1,…,k – опорные генераторные узлы, в которых заданы Рг, Uг и уравнения баланса реактивных мощностей для них в матрицу Якоби не входят.

Pг0

x

		P
		1
		1
	...
		P
		k
		1

	P			P			P
...		1			1	...	1
				U	k 1		U
		n						n
... ...			...			... ...
	P			P			P
...		k			k	...	k
	n			Uk 1
							Un			,

n

n-k

размерность этого блока в матрице Якоби [k×(2n-k)]

2) Узлы i= k +1,…,l – неопорные генераторные узлы, в которых заданы Рг, Qг с учетом того, что баланс мощности в узле i.

Pнбi Pгi Pij Pнi Ui

j

Pi ( j)

Qнбi Qгi Qij Qнi Ui

j

Qi ( j)

Сформируем элементы матрицы Якоби для этих узлов:

Pk 1

Pk 1

Pk 1

P

U

k 1

....

Н (k 1)

....

Uk 1

Uk 1

1

n

(l-k)

............. .......... .............................................

P

P

P

l

....

l

l

...............................

Wгн

1

n

Uk 1

QН (k 1) Uk 1

x

Q

Q

Q

k 1

....

k 1

k 1

.....

Uk 1

1

n

Uk 1

(l-k)

.............. ............. ...........................................

Q

Q

Q

l ....

l

l

.............................

1

n

Uk 1

		Pk 1
			Un
........
			Pl
			Un
	Qk 1
			Un
............
			Ql
			Un

n n - k

т.е. размерность этих блоков в матрице Якоби [2(l - k) × (2n – k)].

14

2n k

(l-k)

Wн

x

(l-k)

3) узлы i=l+1,…..n узлы нагрузки, заданные своими статическими характеристиками по напряжению PHi (UHi), QHi (UHi).

Элементы матрицы Якоби для этих узлов

P
			l 1
			1
......
			Pn
			1
	Ql 1
			1
......
		Qn
			1

......		Pl 1					Pl 1	......
			n				Uk 1
...... ......							...... ......
......			Pn				Pn	......
			n				Uk 1
......	Ql 1						Ql 1	......
			n				Uk 1
...... ......							...... ......
......			Qn				Qn	......
			n				Uk 1

P

1

P

U

1

l

Н (l 1)

l

Ul 1

......

Pn

Ul 1

Q

1

Q

U

l 1

l

Н (l 1)

Ul 1

......

Qn

Ul 1

					Pl 1
......
					Un
......				......
			P P				U
......			n		Н n			n
					Un
				Ql 1
......
					Un
......				......
......	Qn QН n Un
					Un

Размерность этих блоков в матрице Якоби [2(n – l) × (2n – k)].

Здесь Pi , Qi – мощности, подходящие к узлу i из сети, а PHi(Ui), QHi(Ui) – статические характеристики нагрузки по напряжению узла i.

Таким образом, если → ГО – генераторные опорные узлы, помним, что с точки зрения расчета режима эти узлы: ГН – генераторные неопорные узлы, Н – нагрузочные узлы одинаковы, т.е. для них P, Q – задано, υ, U – надо найти.

Итак, если в системе k генераторных опорных узлов, (n+1)-ый узел – балансирующий, PHi(Ui), QHi(Ui) – нагрузки могут учитываться статическими характеристиками, то общая структура матрицы Якоби в расчетах установившихся режимов:

			Pг0
			ν
			Pгн
			ν
		Qгн
W
			ν
x			Pн
			ν
			Qн
			ν
			n

P

г0

U

PгнU

QгнU

PнUQнU n k

k

2(l – k)

2n – k

2(n – k)

15

Т.о. матрица Якоби – квадратная и имеет размерность [2n – k] × [2n – k]. Определитель этой матрицы, вычисленный на последней итерации при расчете методом Ньютона данного, проверяемого на устойчивость установившегося режима,

	W
и есть якобиан J det
	x

Структура характеристического определителя для вычисления an

Основная задача: определить структуру характеристического определителя D(p). Затем из условия p = 0 найдем an D(0) . Предположим, что в системе есть

ШБМ => f = const, U = const. Это означает, что характеристическое уравнение в такой системе – не вырожденное. Для определения структуры характеристического определителя D(p) необходимо записать дифференциальные уравнения переходных процессов генераторных узлов и алгебраические уравнения связи для сетевых узлов в малых отклонениях. Затем линеаризовать их по первому приближению, отметив, что параметры установившегося режима уже известны.

Для сопоставления 2-х структур – матрицы Якоби (для дальнейшего вычисления якобиана J ) и свободного члена характеристического уравнения an D(0) они должны быть линеаризованы по одним и тем же переменным,

ν т.е. x .

U

Итак, система имеет n узлов + ШБМ (это (n+1)-ый узел)

k – генераторные узлы (узлы, для которых записываем уравнения переходных процессов)

(n - k) – не генераторные узлы (сюда входят не опорные генераторные, нагрузочные и пассивные узлы, для которых идентично записываются уравнения баланса активной и реактивной мощностей).

а) Для каждого из k генераторов в малых отклонениях записываем два уравнения:

1) уравнение движения ротора генератора

TJ	p2 δ	P 0,	i 1,...., k
	i	i
ном

16

где δi – абсолютный угол ротора (угол сдвига поперечной оси ротора по отношению к ШБМ); i – фаза вектора напряжения в i-ом узле по отношению к ШБМ; TJi – постоянная инерции ротора i-го генератора.

Лекция №4

Уравнение электромагнитных переходных процессов. Вид характеристического определителя

2) уравнение электромагнитных ПП в обмотке возбуждения и АРВ

T	p E	E E , i 1,....,k		(1)
d 0i	qi	qi	qei
где Td 0i – постоянная времени обмотки возбуждения i-го генератора; Eqei				отра-
жает модель АРВСД (поскольку вообще Eqe			– это вынужденная составляющая
ЭДС, обусловленная действием АРВ).
В общем виде модель АРВ может быть записана
	Eqei	W i ( p) П i ,

где α – в общем случае – число каналов регулирования АРВ. В нашем случае:

первый канал – отклонение по напряжению ∆U

второй канал – системная стабилизация по отклонению ∆f и первой произ-

водной частоты вектора напряжения f `.

fu p u

Отклонение частоты – это производная фазы вектора напряжения на зажимах генератора.

[На самом деле в современных АРВСД существует еще и третий канал – внутренняя стабилизация генератора по производной тока ротора].

П i – параметр режима, используемый для регулирования возбуждения ге-

нератора.

W i ( p) – передаточная функция АРВ генератора i по параметру П i . В принятой нами упрощенной модели АРВСД: α = 2, Пi Ui , i

E	W	( p) W ( p) U		i	W	f	( p)			, где
qei	окр		u					i
передаточные функции:
по общему каналу регулирования возбуждения
	Wокр ( p)				1
			1 p Te	1 p Tp

по каналу отклонения напряжения ∆U

17

		ед.возб.ном
	Wu ( p) k0u
		ед.напр
	по каналу отклонения частоты ∆f
	Wf ( p) (k0 f	p k1 f ) p

k0 f – [ед.возб.ном/Гц]; k1 f – [ед.возб.ном/Гц/с]

Здесь важно обращать внимание на U Uг U0 или наоборот, так как взяли k0u . Важно, чтобы была отрицательная обратная связь: ↑Uг – ↓Eq или ↓

Uг - ↑ Eq.

Итак, принятый нами закон регулирования АРВСД:

Eqei

k0u Ui k0 fi p k1 fi p i

1 p Te 1 p Tp

Поскольку для определения an

ищем структуры определителя D(0) an , закон

регулирования для АРВСД упрощается: при p = 0

Eqei k0u Ui

– получаем

статический закон регулирования, который

следует подставить в уравнение (1) переходных

про-

цессов в ОВ.

T

p E E k

U

i

0

d 0i

qi

qi

0u

Разделим это уравнение на k0u , и получим

1

T

p E

1

E

U

0 (1')

i

k0ui

d 0i

qi

k0ui

qi

В современных АРВСД k0u 50 100 ед.возб.номед.напр и увеличение k0u

сверх этих значений, практически, мало сказывается на статических характеристиках системы [при этих значениях k0u внешняя характеристика P(δ) соответст-

вует Uг = const]. Поэтому, без сколько-нибудь существенной погрешности в окончательном результате можно считать k0u , что приводит к вырождению урав-

нения (1').

∆Ui = 0, i = 1,…..,k

Это соответствует Uгi = const для опорных генераторных узлов в расчетах УР, т.е. приращение модуля напряжений генераторных узлов = 0.

Итак, уравнение электромагнитных ПП в обмотке возбуждения и АРВСД выродилось в ∆Ui = 0, а уравнение движения ротора для каждого генератора при линеаризации по неизвестным с учетом (1') принимает вид:

18

TJi

p2 i

j TJi

p2 i

U j

Pi

j

Pi

U j 0,

n

n

n

n

j 1

j

j k 1

U

j

j 1

j

j k 1

U

j

ном

ном

i 1,....., k

Но для определения

an

ищем структуру определителя D(p) при p=0, т.е.

D(0) an , тогда уравнение движение ротора приобретает для каждого генератора вид:

n			n	Pi
	Pi	j			U j	0
j 1 j			j k 1	U j		(1'')
i 1,...., k

Итак, для каждого генераторного узла будет одно уравнение движения ротора вида (1''), т.е. всего таких уравнений k. Эту систему дополним системой:

б) Для (n – k) не генераторных узлов линеаризуем уравнения баланса активной (P) и реактивной (Q) мощности:

Pi

j

Pi

U j

PНi Ui Ui

0

n

n

j 1

j

j k 1 U j

Ui

2(n – k) уравнений

n

Qi

n

Qi

QНi Ui

(на каждый узел два

j

U j

Ui

0

уравнения)

U

U

j 1

j

j k 1

j

i

Итак, система линеаризованных уравнений ПП и уравнений баланса мощностей в не генераторных узлах, записанная в матричной форме, имеет вид

ν

D( p) 0 , где D(p) – характеристический определитель.

U

Чтобы получить структуру характеристического определителя для вычисления свободного члена необходимо в характеристическом определителе D(p) → p=0, т.е. D(0) an

19

уравнение движения ротора для Г1

					P						P
					1			....			1
					1						n
			.... .... ....
					Pk			....			Pk
					1						n
				Pk 1				....		Pk 1
	D(0)				1						n
an			.... .... ....
					Pn			....			Pn
					1						n
			Qk 1					....	Qk 1
					1						n
				Qn				....			Qn
					1						n

					P
						1
			Uk 1
					....
					Pk
			Uk 1
		Pk 1					P
									Н(k 1)
		Uk 1						Uk 1
					....
					Pn
			Uk 1
		k 1				QН(k+1)
		Q
Uk 1								Uk 1
					Qn

Uk 1

....

....

....

....

....

....

....

....

P

1

Un

....

Pk

Un

Pk 1

Un

....

P

PН(n )

n

Un

Un

Qk 1

Un

Q

QН(n )

n

Un

Un

k

уравнения баланса активной мощности P

(n – k)

уравнения баланса реактивной мощности Q

(n – k)

n	(n – k)

Таким образом, размерность an D(0) → [2n–k] × [2n – k]. В сокращенном виде можно записать:

	Pг			Pг					k
	ν			U
an	P			P
	н			н
	ν			U					2(n –k)
	Qн		Qн
	ν			U
	n	(n – k)

Г – генераторы; Н – все остальные (n – k) узлов, обозначаем как нагрузочные. Структура – квадрат: [2(n – k)]× [2(n – k)]

20