PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

P

P

1

C

1

C

1

11

2

12

P2

C

P2

C

1

21

2

22

1 0,

2

0

тогда:

4). Характеристический определитель системы

(

TJ1

p2 C )

C

ном

11

12

D p

0

TJ 2

p 2

C21

(

C22 )

ном

5). Характеристическое уравнение

T

T

T

J1

T

J 2

2 C11 C22 C21 C12 0

20кВ

J1

J 2

p4

C22

C11

p

ном

ном

ном

ном

						a0										a		2																	a	4
Характеристическое уравнение
a	0	p4	a	2	p2	a	4	0
a4 0, C11 C22 C21 C12											0 соответствует пределу апериодической
cтатической устойчивости
								P E			2 y			sin			11			U U		2		y		sin(							2			12		)
								1		1		11									1				12			1
								P E 2 y					22		sin			11		U U			2		y	sin(			2								12		)
								2			2										1				12								1
										P
								C				1		U U						y	cos(												)
																			2								2					12
								11		1					1					12					1

P

C22 2 U1U 2 y12cos( 2 1 12 )

2

			P
C			1		U U		y	cos(						)
						2					2		12
12			2		1		12	1
C			P2		U U		y	cos(						)
	21					2			2				12
			1		1		12				1

51

a0 p4 a2 p 2 0

p2( a0 p 2 a2 ) 0 p2 0 p1,2 0

a

p2

a

p

a2

j

a2

j - одна пара чисто мнимых корней дает

0

2

3,4

a0

a0

одно колебание с частотой .

Т.о. в двухмашинной системе одна частота электромеханических колебаний.

j

p3 j

20кВ	p4	j

	T
		t
20кВ		2
		T

Т.о. если число станций k, то число частот ЭМК (k-1) .т.е. в данном случае равно

1.

– частота электромеханических колебаний – это внутренняя характеристика системы, которая не зависит от места приложения возмущений и его вида, а зависит только от параметров системы xd ,xc ,T j и от параметров установившегося ре-

жима E1,E2 , 1, 2 .

IV. Влияние различных факторов на частоту ЭМК 1) Влияние постоянной инерции T j1,T j 2 .

Для современных мощных агрегатов T j 5 15c .

52

T j1

C

T j 2

C

22

ном

11

p3,4

j

ном

T j1

T j 2

ном

ном

При увеличении T j (доминирующее значение у T j в знаменателе), уменьшается

(уменьшается частота ЭМК).

2) Влияние длины линий
С увеличением L, растёт x		и С ,С		в которые входит	y	1	- уменьшается, а
	л		22
		11			12	x12

значит и частота ЭМК уменьшается.

L

20кВ

В ЭЭС наблюдается тенденция увеличения числа ДЛЭП и слабых межсистемных связей при объединении на параллельную работу ЭЭС. Это приводит к уменьшению системной частоты ЭМК, которая составляет в настоящее время:

1.2 10		рад	; f 0.2 1.5 Гц
		сек
3) Влияние тяжести режима.
Чем ближе к предельному режиму, тем
P		cos			P				P	к 0) , т.е. частота ЭМК умень-
				(C	1	и C			2
	0						22
0		12		11	1				2

шается.

53

12

20кВ

Вс

е эти влияющие факторы уменьшают системную частоту , что приводит к ухудшению динамических свойств ЭЭС. Чем ниже частота колебаний, тем хуже регулирующие свойства системы. Основной демпфирующей силой является АРВ СД, но они не рассчитаны на такие малые частоты.

Если рассмотреть динамические свойства трехмашинной системы в консервативной идеализации, то можно показать, что в этом случае получаются две частоты ЭМК 1 и 2 . Обобщая этот вывод на k – машинную систему получаем число

частот ЭМК (k-1).

Основные показатели, характеризующие динамические свойства сложных ЭЭС

Динамические свойства – это свойства, которые проявляются в электромеханиче-

ских переходных процессах.

– матрица состояний,

i – СЗ,

– СВ, мода – форма колебаний.

Динамические свойства характеризуют следующие параметры:

Основные:

1) Частота электромеханических колебаний (ЭМК)

i Im i

i 1, ,(k 1) , где

k – число эквивалентных генераторов, включая ШБМ

Диапазон частот ЭМК составляет:

1.2 – 10 (15 СК, нет турбины) [рад/c]

0.2 – 1.5 [Гц]

2) Коэффициент затухания ЭМК на этих частотах

54

i Re i

i 1, ,(k 1)

Эти два параметра определяются парами комплексно-сопряженных корней, ко-

торые:

pi,i 1 i j i i

представляют из себя i - собственные значения (СЗ матрицы состояния о которой будем говорить позднее).

3) Коэффициенты распределения амплитуд режимных параметров (перемен-

ных	состоянии)	на	каждой	частоте	ЭМК
U ji , i 1,2...k 1 (n l k), l –		порядок x, y для одного
j 1...	n

Они определяются на каждой i-ой частота по соответствующим собствен-

ным векторам (СВ, матрицы состояния системы i )

Кроме основных, для модального анализа динамических свойств сложных ЭЭС вводятся показатели дополнительные.

Дополнительные

4)Наблюдаемость мод ЭМК

5)Синфазность отдельных генераторных групп на каждой частоте ЭМК (мо-

жет быть если в моде все фазы почти нулевые, то все машины идут синфаз-

но).

6)Управляемость мод ЭМК

Дополнительные показатели также определяются на основе СЗ и СВ матрицы состояния .

Приведенные параметры полностью определяют поведение системы при ма-

лых возмущениях.

Для расчёта и анализа параметров, характеризующих динамические свойства ЭЭС необходимо сформировать математическую модель.

55

Поскольку модальный анализ относится к методам исследования статической устойчивости то, как обычно, необходимо исходные дифференциальные урав-

нения, описывающие ЭМПП и алгебраические уравнения связи:

1)Записать в малых отклонения режимных параметров;

2)Линеаризовать систему уравнений по первому приближению, выбрав неза-

висимые переменные, а остальные (зависимые, разложить в ряд Тейлора, оставляя только линейные члены разложения, а далее:

П x П x0	П	|x0	x		1	2 П2 x2
	x
					2! x
П x П x0 П			П	|x0	x
			x

При 3х независимых переменных П x, y,z

П	П |	x	П |	y	П |	z
	x x0		y y0		z z0

3)Привести линеаризованную модель к нормальной форме (форме Коши с ну-

левыми начальными условиями). Определить матрицу состояния системы

R. (ранее этот этап представлял собой вывод характеристического опреде-

лителя или характеристического уравнения).

4)Рассчитать собственные значения (СЗ) и собственные вектора (СВ) матрицы

состояния (ранее это были корни характеристического уравнения p j j )

5)По результатам расчёта провести анализ статической устойчивости и дина-

мических свойств ЭЭС и разработать мероприятия по их улучшению.

Лекция №11

Вывод основного уравнения для определения параметров, характеризующих динамические свойства сложных ЭЭС.

ЭМК в многомашинной ЭЭС многочастотны, причем колебания на каждой данной частоте можно характеризовать обобщенным понятием формы колебаний (мода – форма), т.е. собственной частотой и коэффициентами распределения амплитуд ЭМК на этой частоте.

56

i 0

pZ RZ

pZ RZ

Значения собственной частоты и коэффициентов распределения амплитуд ЭМК на этой частоте представляют собой собственные значения и собственные вектора матрицы состояния, для получения которой исходная система линеаризованных дифференциальных уравнений ПП преобразуется к нормальной форме (форме Коши с нулевыми начальными условиями), а именно, преобразуется к виду:

	dZ	RZ или с учетом того, что	p	d	(символ дифференцирования), то наи-
	dt			dt

более часто употребляемая форма записи, нормальная форма:

(1)

Эти уравнения называются уравнениями состояния системы,

Z1
Z Z2		–
Zn

вектор-столбец переменных состояния порядка n. В наших задачах переменными состояния являются малые отклонения режимных параметров , S , E и т.д.

R – матрица состояния системы – квадратная матрица размерностью n×n. Система уравнений состояния полностью характеризует поведение

системы при малых возмущениях.

Решение этой системы может быть записано для каждой j-ой переменной состояния в виде суммы составляющих движения (т.к. система линейная, то общее движение системы можно рассматривать как суперпозицию независимых движений, каждое из которых определяется соответствующим корнем системы pi i ).

n
Z j t Aji e it ,	j 1, 2,..., n
i 1
Здесь i – корень характеристического уравнения системы		pZ RZ ,

Aji U ji i 0 – амплитуда j-ой переменной состояния, в которой можно выделить два сомножителя: – определяется начальными условиями, U ji – не зависит

от начальных условий и определяется только параметрами системы, т.е. матрицей

R .

n
Итак Z j t U ji i 0	e it , здесь j=1, 2, …,n – соответствует номеру перемен-
i 1

ной состояния вектора Z t , i=1, 2, …, n – соответствует номеру собственного значения i (корня pi характеристического уравнения).

Запишем общее движение системы более подробно в виде системы уравне-

ний:

57

Z1 t U11 1 0 e 1t

U12 2 0 e 2t ... U1n n 0 e nt

Z2 t U21 1 0 e 1t

U22

2

0 e 2t ... U2n

n 0 e nt

Zn t Un1 1 0 e 1t

Un2

2

0 e 2t ... Unn n 0 e nt

Или в матричном виде:

Z1 t

U11

U12

U1n

Z2

t

U21

U22

2 0 e 2t

U2n

n 0 e nt

1 0 e 1t

Un1

Un2

Unn

Zn

t

U1

U2

Un

мода1

мода 2

мода n

Отсюда решение может быть записано как:

n

Z Ui i 0 e it (2)

i 1

Если i – действительный корень, то эта составляющая мода движения будет

апериодической во всех переменных состояния.

Если i – пара комплексно-сопряженных корней, которые, как мы уже знаем, дают одно колебательное движение, то эта форма движения с i j i будет присуща всем переменным состояния.

		U1i
Вектор	Ui	U	2i	дает распределение амплитуд переменных состояния для i-
		Uni
го корня i .
Полная матрица U , составленная из таких векторов Ui
U11	U12			U1n
	U22
U21				U2n
U						, каждый столбец которой соответствует одному	, на-
							i
Un1	Un2			Unn
U1	U2			Un

зывается модальной матрицей.

Подставим решение (2) в левую часть уравнения состояния (1), учитывая, что

p e t e t

pZ1 U11 1 0 1 e 1t pZ2 U21 1 0 1 e 1t

pZn Un1 1 0 1 e 1t

U12 2 0 2 e 2t ... U1n n 0 n e ntU22 2 0 2 e 2t ... U2n n 0 n e nt

Un2 2 0 2 e 2t ... Unn n 0 n e nt

Или в матричном виде

58

Z1		U11			U12			U1n
p Z2		U21		1 0 1	e 1t U22		2 0 2 e 2t	U	2n	n 0 n e nt
Zn		Un1			Un2			Unn
		U1			U2			Un

n

pZ Ui i 0 ie it

i 1

Аналогично подставим решение (2) в правую часть уравнения состояния (1)

n

RZ R Ui i 0 e it

i 1

Приравнивая правую и левую часть уравнения состояния для каждой i-ой составляющей движения

		U1i			U1i
i		U	2i	i 0 e it R U2i			i 0 e it	и сокращая на i 0 e it	получим выражение
		Uni			Uni
для каждой i-ой составляющей движения:
	RUi		i Ui		i=1, 2, …, n

Это уравнение и является основой алгоритма определения динамических свойств ЭЭС. Это матричное уравнение для каждой составляющей движения, которое не зависит от начальных условий (т.е. от времени), а определяется только структурой и значениями коэффициентов матрицы R. Здесь матрица состояния R известна, а i (число) и Ui (вектор-столбец) необходимо определить.

Из линейной алгебры известно,		что число i называется собственным значе-
нием матрицы R, если существует ненулевой вектор					Ui 0 , удовлетворяющий
уравнению RU U (из алгебры AX X).				Вектор Ui	называется собственным
вектором матрицы R, соответствующим собственному значению i .
Если записать систему в виде
	1	0
RU U 0 R E U 0 , где E				– диагональная единичная матрица,
	0	1

то получим однородную систему, которая, по определению, имеет ненулевое решение, что может быть только когда определитель матрицы системы будет равен нулю, т.е. det R E 0 при U 0 или в развернутом виде

	R11	R12	R1n
	R21	R22	R2n
det					0
	Rn1	Rn2
			Rnn

Раскрыв определитель получим характеристическое уравнение степени "n". 59

Ui , соответствующе-

n a n 1	a n 2	... a	a 0		(a 1)
1	2	n 1		n	0
Это характеристическое уравнение в плоскости комплексных чисел имеет
ровно n корней 1 , 2		… n .
Таким образом квадратная матрица R порядка “n” обладает набором из "n"
собственных	значений		1 , 2 … n ,		которые являются корнями системы
( p1, p2 , ..., pn ).

Для симметричной матрицы собственные значения являются действительными корнями i pi i .

Для несимметричной матрицы, к которым относится и матрица состояния R ЭЭС, возможно существование комплексно-сопряженных пар собственных значений (корней), т.е. или i,i 1 pi,i 1 i j i .

Таким образом собственные значения матрицы состояния, являясь корнями системы, определяют составляющие движения:

	действительные собственные значения обуславливают апериодические со-
ставляющие движения;
	пары комплексно-сопряженных собственных значений – колебательные со-
ставляющие движения.
	При этом, для колебательных составляющих движения i – это коэффициент
затухания колебаний,				– частота колебаний (	2	, Т – период колебаний).
			i
					T
	Каждому собственному значению i соответствует собственный вектор
	U1i
Ui	U	2i , который определяет соотношение амплитуд переменных состояния Z ,
	Uni

т.е. определяет форму или так называемую моду i-го движения.

Отсюда идет и название матрицы U -модальная, определяющей совокупность всех собственных значений системы, и название модальной теории, изучающей динамические свойства систем на основе определения собственных значений и собственных векторов матрицы состояния R.

В теории колебаний компоненты собственного вектора

го комплексному i,i 1 называются коэффициентами распределения амплитуд i- ой формы колебания, а частота колебания i – собственная частота колебания системы.

Для	определения собственного вектора Ui необходимо решить	систему
R iE Ui	0 для заданного i . Но т.к. i – корень системы, то матрица	R iE

особенная (определитель R iE 0 ) и система является линейно зависимой (это

означает, что одно уравнение является линейной комбинацией других уравнений системы). Чтобы преодолеть это, один из элементов собственного вектора задает-

60