PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

	t 1	0 e 0,03t sin 4,8t 0 0,1		0 e 0,25t sin		7,9t 174
			2
1	1
							180

Т2 6, 28 1,31 с

4,8

1 ln A0

ТA1

Лекция №14

Приведение математической модели ЭЭС к нормальной форме

Постановка задачи:

Модальный анализ динамических свойств ЭС основывается на методах линейной алгебры. Для использования этих методов необходимо математическую модель ЭС привести к нормальной форме (каноническая форма Коши с нулевыми начальными условиями).

			dX	AX	pX AX
			dt
A – матрица состояния, размерностью n×n;
X – вектор малых отклонений переменных состояния.
Для ЭС X	S	малые отклонения переменных, т.к. рассматриваем статиче-
	E
	q

скую устойчивость.

Электромеханические переходные процессы ЭС могут описываться дифференциальными уравнениями различного порядка. Любое дифференциальное

71

уравнение высокого порядка можно привести к системе уравнений первого порядка:

a

d n x

a

d n 1x

a

d n 2 x

a

dx

a x 0

dtn

0

1 dtn 1

2 dtn 2

n 1

dt

n

dxn 1

xn 1

xn 2

x1

dt

Введем новые переменные:

dx

d

2 x

dx

d n 1x

dx

x ;

1

x ;

;

n 2

x

dt2

dtn 1

dt

1

dt

2

dt

n 1

a

dxn 1

a x

a x

a

x a x 0

0 dt

1 n 1

2 n 2

n 1 1

n

Получим из уравнения n-го порядка систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Пример n=3:

a d 3 y b d 2 y c dy dy 0 dt3 dt2 dt

py y1 py1 y2

py2 ba y2 ac y1 da y

Уравнение состояния в матричном виде имеет вид:

y			0		1
p y1			0		0
				d		c
y2
				a		a

0 y

1 y1b y2

a

матрица состояния R

Для многомашинной регулируемой системы сформировать сразу матрицу состояния достаточно сложно. Обычно при приведении к нормальной форме появляются дополнительные алгебраические уравнения связи и переменные связи (не имеют производных по времени).

pX AX BY - система дифференциальных уравнений состояния

* 0 CX DY - система алгебраических уравнений связи

X – вектор переменных состояния;

Y – вектор переменных связи (не имеют производных по t);

A и D – квадратные матрицы. A имеет размерность матрицы состояния. B и C – прямоугольные матрицы.

72

Xn 1

Ym 1

An n

Bn m C m n

Dm m

Для определения матрицы состояния из (*) исключаются переменные связи. Из второго уравнения определяются Y D 1CX и подставляем в первое уравне-

ние (*):

pX AX B D 1CX pX A BD 1C X

R A BD 1C - матрица состояния

Матрицу состояния R можно найти прямым ходом метода Гаусса

Приведение к нормальной форме математической модели простейшей нерегулируемой ЭЭС

Схема ''станция – ШБМ'' без АРВ.

Исходная математическая модель описывается двумя уравнениями:

Т J			2	P 0
			p
1 ном
						( E	0 , т.к. АРВ отсутствует)
						qe
T		p E ' E			q	0
d 0				q

В качестве независимых переменных выбираем , EQ . Тогда вектор прира-

щений независимых переменных .EQ

Зависимые переменные P, Eq ', Eq выразим через независимые разложением в ряд Тейлора, оставляя линейные члены:

73

P

P

P

EQ

EQ

Eq

Eq

2

Eq

EQ

EQ

Eq '

Eq '

E '

E

q

E

Q

Q

Полная система будет состоять из (1) и (2).

Уравнение движения второго порядка приводим к двум уравнениям первого порядка

p2 p p p S . Тогда

S

Т J

p S P

0

ном

p S

Уравнения (1) и (2) приводим к нормальной форме:

p S

pX AX BY

p S ном P

уравнения состояния

Т J

1

p Eq

'

Eq

Td 0

0 P

P

P

EQ

EQ

Eq

Eq

0 Eq

EQ

уравнения связи 0

CX DY

EQ

Eq '

Eq '

0 E '

E

E

q

Q

Q

X

S

– вектор переменных состояния

E '

q

74

P

Y Eq – вектор переменных связи

EQ

Чтобы записать систему в матричном виде найдем A, B, C и D

P

p

S

A

S

B

Eq

E '

E '

E

q

q

Q

0

0

0

0

1

0

ном

A

0

0 0

B

0

0

Т J

0

0

0

1

0

0

Тd 0

P

0 C

S

D

Eq

E '

E

q

Q

			P
			Eq
	C
		Eq '

					1		P
	0	0				0
							E
							Q
							E
	0	0		D 0		1	q
							EQ
	0						E '
		1					q
				0		0	E
							Q

а матрица состояния R: R A BD 1C.

Размерность матриц B, C и D зависит от выбора независимых переменных, но

размерность матриц A ,R не зависит от выбора независимых переменных, а определяется порядком вектора переменных состояния, т.е. порядком системы дифференциальных уравнений.

Приведение к нормальной форме математической модели САР, заданной передаточными функциями

САР обычно задаются в виде структурных схем, состоящих из передаточных функций.

75

АРВСД

	∆uг
			W ( p)
			u
∆δuг											Eqe
			Wf	( p)						Wокр ( p)
If
			WI p	( p)

Наиболее удобно переходить к нормальной форме, представляя математическую модель САР в виде структурной схемы, состоящей из простейших звеньев со своими передаточными функциями.

Передаточная функция связывает входные и выходные переменные соотно-

	шениями:	xвх		xвых
	xвых W ( p) xвх
			W ( p)

Разложение САР на звенья позволяет составить математическую модель звена без учета его связи с другими звеньями.

Рассмотрим приведение к нормальному виду наиболее часто встречающиеся звенья.

1. Звено усиления (усилительное, безинерционное)

W ( p) k xвых k xвх

Звено усиления дает одно уравнение связи:

0 k xвх xвых

2. Апериодическое звено (инерционное)

W ( p)	k
	1 pT

xвых

k

xвх

;

1 pT xвых k xвх

pT

1

px

k

x

1

x

дает одно уравнение состояния 1-го порядка

вых

T

вх

T

вых

76

3. Цепочка из апериодических звеньев

xвых W1( p) W2 ( p) W3 ( p) xвх

k1

xвх

1

x1

1

px1

T1

T1

T1

x

k2

x1

1

x2

1

k2

px2

p

x2

T2

T2

T2

k3

1

xвых

x2

xвых

pxвых

X

0

T3

T3

0

1

T2 k3

T3

A(3 3)

	0						k1
					x1
							T1			x
	0				x		0
					2					вх
										y
	1			xвых			0
					X
		T3					B(3 1)

pX A X B Y

4. Апериодическое звено с дифференцированием (дифференцирующее, реальное)

W ( p)	p k
	1 pT

x1			k		xвх
	1		pT
xвых px1				px1 xвых (1)

Уравнения дифференцирующего звена:

px1 Tk xвх T1 x1 (2) – уравнение состояния

0 x		k	x		1	x	– уравнение связи
вых		T	вх		T	1

Чтобы избавиться от избыточности (1) подставляем в (2):

		1		k
px1			x1
		T
				T

А	В

		xвх
0
		xвых

77

	1		k				xвх
0		x1			1
	T		T			xвых

С	D

5. Колебательное звено II-го порядка

W ( p)

k

T p2

T p 1

1

2

x

k

x ; p2 x

T px

T x

k x

T p2 T p 1

вых

вх

вых

1

вых

2 вых

вх

1

2

px1

x1

pxвых x1

px

k

x

T2

x

1

x

два уравнения состояния

1

вх

1

вых

T1

T1

T1

xвых				0
p					1
	x1				T1
	X

	1				xвых			0
		T						k		x
		2								вых
		T1				x1				y
						X	T1
A								B

Приведение к нормальной форме упрощенной 2х звенной математической модели АРВПД

	Закон регулирования: Eqe			k0u	Uг
			1	pTe 1 pTp

Представим как цепочку из двух апериодических звеньев:

xвх Uг

xвых Eqe

x

1

U

px T

x U

px

1

U

1

x

г

г

г

1

1

pTp

1 p

1

1

Tp

Tp

1

k0u

1

k0u

x

E p E T E k x

p E

E

x

вых

1 pTe

qe

qe e

qe

0u 1

qe

Te

qe

1

Te

78

Приведение к нормальной форме математической модели регулируемой ЭС (простейшей), генераторы которой оснащены АРВПД двух-

звенного типа

		T		p2 P 0
		J
	ном
	1. T		p E			E		E			(1)
		d 0			q		q		qe
	E					k0u				U
			qe		1 pTp		1 pTe				г

Для линеаризации исходных дифференциальных уравнений, записанных в малых отклонениях, используем в качестве независимых переменных , Eq .

2. Все зависимые переменные выражаем через независимые разложением в

ряд Тейлора, отбрасывая нелинейные члены разложения.

P P P EEq q

E		E		E
		q		q	E
q				Eq	q

U		Uг	Uг	E
	г
				q
			Eq

3.Исключаем две зависимые переменные в системе (1)

4.Приводим модель к нормальной форме px Ax или pz Rz

5.Записываем в матричном виде и получаем матрицу состояния.

P

Eqe

Eq

p s ;

p s

ном

; pE

Td 0

Td 0

TJ

px

1

x

1

U

г

1

Tp

1

Tp

p E

1

E

k0u

x

qe

Te

qe

Te

1

0 P P

P

E

q

Eq

0 E

E

E

q

q

E

q

q

Eq

0 U

Uг

Uг

E

г

q

Eq

79

		s
x
		Eq
		x1
	E
			qe
		0		1	0
		0		0	0
		0		0	0
А
		0		0	0
		0		0	0

					P
			y		E
							q
					Uг
0			0
0			0
0			1
			Td 0
1			0
	Tp
k0u	T		1	T
		p
				e

	P			0	0	0	0
	E			0	1	0	0
C	q
	U			0	0	0
		г					0

		0				0
		ном
				TJ		0
B		0				1
						Td 0
		0				0
		0				0
		1	P E			0
					q
			E
D		0				0
				q	Eq
			Uг
		0				1
					Eq

0
0
0
1 T
	p
0

Лекция №15

Полная и частичная проблемы собственных значений. Методы их решения.

Рассмотренный нами пример поиска собственных значений и собственных векторов относится к прямым методам – это методы Крылова, Данилевского, Лаверья и др. – основаны на вычислении коэффициентов характеристического уравнения. Они становятся не эффективными для матриц большой размерности.

Кроме того, необходимо учесть специфику нашей матрицы R – ее "жест-

кость". Это означает, что ее элементы различаются по значениям rji max 104 , т.к.,

rji min

как правило, r f 1 , где присутствуют T:

ji

T

1.TJ 10 c

2.Tp 0,02 c,Tg 0,0005 c – постоянные времени регулирования звеньев АРВ

При таком разбросе значений коэффициентов матрицы R и при поиске собственных значений и собственных векторов прямые методы основаны на вычис-

80