PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

Eqe

1

1 pTe 1 pT u 1 pT1u 1 pT f 1 pT1 f

1 pT1I

f

f

1I f

0u

1u

1 f

1u

1

pT 1

pT

1

pT

k

1

pT

p k

U

1 pT u 1 pT1u

1 pT1I

f

k0 f 1 pT1 f

p k1 f

p u

I f

1 pT u 1 pT1u

1 pT f 1 pT1 f p k1I

f

Таким образом учет АРВСД на одном генераторе увеличивает порядок характеристического уравнения на 6 и если такие АРВ установлены на всех k генераторах ЭЭС, то порядок характеристического уравнения возрастает с 3k до 10k (округлили с 9-ти до 10-ти, что возможно если еще более детально представить АРВ).

2.Структура и объем вычислений, необходимых для развертывания характеристического определителя в характеристическое уравнение и вычисления его коэффициентов ai

Итак, объем вычислений в регулируемой ЭЭС по сравнению с нерегулируемой существенно возрастает и тем больше, чем детальнее описан АРВСД.

В среднем характеристическое уравнение для регулируемой системы имеет порядок l 10k , т.е. разворачивая характеристический определитель в характеристическое уравнение необходимо вычислить (10k+1) значений коэффициентов характеристического уравнения.

Для развертывания характеристического определителя в характе-ристическое уравнение существует два метода:

1)метод Данилевского, который плохо алгоритмизируется и не пригоден для развертывания определителей высокого порядка;

2)метод неопределенных коэффициентов, суть которого заключается в следующем:

l 1 -го различных значений " p" необходимо вычислить вещественные

значения характеристического определителя D( p) порядка 2(n+k), в результате чего получим:

a pl			a pl 1	......... a	p		a	d
	0	j	1 j	l 1		j	l		j
.....									(l+1) уравнение; j=1,…, l+k
a pl			a pl 1	......... a	p	j	a d		j
	0	j	1 j	l 1			l

Получаем СЛАУ относительно коэффициентов ai , решать которую лучше

всего методом Гаусса.

Таким образом, например, для регулируемой системы, в которой n=1000, k=50, порядок характеристического уравнения равен l 10k; l 500, т.е. чтобы

развернуть характеристический определитель порядка 2(n+k)=2100 необходимо l 1 501раз раскрыть определитель 2100-го порядка, после чего решать СЛАУ

41

из 501-го уравнения, чтобы найти 501 значение коэффициентов характеристического уравнения от a0 до an 501

Таким образом, при развертывании характеристического определителя в характеристическое уравнение основной объем вычислений также, как и при использовании метода D-разбиения – вычисление определителей высоких порядков (только в одном случае – комплексных, в другом – вещественных). Каким образом повысить эффективность этих расчетов мы знаем.

3. Проверка колебательной статической устойчивости ЭЭС, представленной

l

характеристическим уравнением D( p) ai pl i

i 0

Очевидно, что для получения ответа на вопрос об устойчивости регулируемой ЭЭС, заданной всеми, в том числе и настроечными параметрами АРВСД, не достаточно определить коэффициенты характеристического уравнения. Для проверки устойчивости требуется дополнительно использовать критерий устойчивости. В данном случае, когда характеристическое уравнение приведено к полиномиальному виду, весьма удобно использовать алгебраические критерии Раусса и Гурвица, а так же можно использовать критерий Михайлова в той формулировке, что если корни уравнений U () и V ( ) , полученных подстановкой в характери-

стическое уравнение p j , т.е. D( j ) U () j V () , действительные и пере-

межающиеся, то система устойчива. Таким образом, для проверки устойчивости ЭЭС, представленной характеристическим уравнением в полиномиальной форме, потребуется дополнительный объем вычислений, связанный с определением при l 10k 500 корней уравнений U () 0 и V ( ) 0 , порядок которых относи-

тельно ω достигает 500 (ω в степени 500).

Как видим, приведение характеристического уравнения для сложных ЭЭС к полиномиальной форме кроме большого требуемого объема вычислений имеет весьма существенные недостатки:

1) даже для относительно невысоких порядков характеристического уравнения коэффициенты a0 и an существенно отличаются по величине, а при высоких по-

рядках это различие может даже превзойти возможность представления чисел в ЦВМ. Но даже и без этого (когда просто нельзя вычислить все коэффициенты) погрешности расчетов будут недопустимо высоки;

2) в математическом описании вентильных систем возбуждения и элементов АРВСД встречаются звенья чистого запаздывания с передаточной функцией

W ( p) e p . В этом случае характеристическое уравнение не приводится к поли-

номиальной форме и алгебраические критерии устойчивости применят нельзя. Если же ввести аппроксимацию

e p 1 p 2!1 p 2 3!1 p 3 ......

42

с последующим отбрасыванием высших членов разложения ввиду малости τ, то это может привести к неверной оценке устойчивости, т.к. ряд знакопеременный и это может привести к отрицательности некоторых коэффициентов характеристического уравнения.

Таким образом, помимо указанных недостатков надо понимать, что эта задача – проверка устойчивости системы, заданной всеми параметрами – достаточно частная. Пусть выяснилось, что исследуемый режим неустойчив. Сама по себе констатация этого факта мало что дает – надо знать причину неустойчивости: неверная настойка АРВ или неэффективный закон регулирования, или недостаточно быстродействующая система возбуждения. В зависимости от причин будут определяться и наиболее рациональные способы обеспечения устойчивости. В этом смысле метод D-разбиения не может дать нам полного ответа, т.к. эта область строится в координатах настроечных параметров и нет ясности, если претендент – не область устойчивости.

Таким образом, мы приходим к весьма информативному методу анализа колебательной статической устойчивости – модальному анализу.

Лекция №10

Динамические свойства электроэнергетических систем в консервативной идеализации

Предположим, в ЭЭС имеется группа станций и для j–ой станции области устойчивости имеют вид, показанный на рисунке:

Область устойчивости для j–ой станции зависит не только от настройки АРВ j –го генератора, но и от настройки АРВ других станций.

43

Область рабочей настройки на рисунке, лежит вне общего участка областей устойчивости в разных режимах. Стоит вопрос, как улучшить демпферные свойства системы, изменением настройки АРВ какого генератора можно обеспечить колебательную устойчивость системы во всех требуемых режимах, т.е. надо выделить слабо демпфируемые или неустойчивые формы движения в ЭЭС и выявить за счет чего можно улучшить демпферные свойства системы: может быть надо на каких-то генераторах осуществить замену АРВПД на АРВСД или на ка- ких-то генераторах просто изменить настройку АРВСД, а может быть изменить закон управления?

Кроме того, при необходимости изменения настройки АРВСД возникает вопрос: а как ее менять, т.е. какими свойствами должна обладать измененная настройка АРВСД генераторов станции? Ответы на эти вопросы помогает получить анализ динамических свойств ЭЭС, основанный на модальной теории линейных систем.

Основные определения:

Динамические свойства – это свойства, которые проявляются в электромеханических переходных процессах.

Динамические свойства характеризуют следующие основные параметры:

1)частота электромеханических колебаний (ЭМК)

i			рад				1,..., k 1	, где k – число эквивалентных генераторов, включая ШБМ
						i
				с
			2)				коэффициенты затухания ЭМК на этих частотах
i			1			i 1,..., k 1
			с
Эти					параметры			определяются парами комплексно-сопряженных корней
рi	i j i						i - (собственными значениями матрицы состояния системы)

3) коэффициенты распределения амплитуд режимных параметров на каждой частоте ЭМК.

U ji	i 1, 2,...,	n 1	Они вычисляются по соответствующим собственным векторам
	j 1, ..., n

матрицы состояния системы на i-ой частоте. Эти параметры полностью определяют поведение системы при малых возмущениях.

Для расчета и анализа параметров, характеризующих динамические свойства ЭЭС необходимо сформировать математическую модель. Поскольку модальный анализ относится к методам исследования статической устойчивости, то, как обычно, необходимо исходные дифференциальные уравнения, описывающие ЭМПП и алгебраические уравнения связи:

1)записать в малых отклонениях режимных параметров;

2)линеаризовать систему уравнений по первому приближению, выбрав независимые переменные, а остальные (зависимые) – разложить в ряд Тейлора, оставляя только линейные члены разложения, а далее – этапы, специфичные для модального анализа

44

1)привести линеаризованную модель к нормальной форме (форме Коши с нулевыми начальными условиями).

2)определить матрицу состояния системы (ранее этот этап представлял собой вывод характеристического уравнения или характеристического определителя)

3)рассчитать собственные значения и собственные вектора матрицы со-

стояния (ранее это были корни характеристического уравнения	p j
	j

4)по результатам расчета провести анализ статической устойчивости и динамических свойств ЭЭС и разработать мероприятия по их улучшению.

I Динамические свойства простейшей ЭЭС в консервативной идеализации (нет рассеивания энергии, не учитывается ни одного демпфирующего фактора, коэффициент затухания 0 - процессы не затухающие)

20кВ	E'	x'd	U	xC

x'd

P

PГ

20кВ		0	max

C P

ном 2 f 314 радсек

Pт const

1) Исходное дифференциальное уравнение движения:

	T	J		d 2	Pт P	(1)	P	E' U
	ном			dt 2				x'd

2) В малых отклонениях:

U C

45

T		J		d 2
					P 0 (2)
	ном			dt 2

3) Линеаризация:

20кВ

P P

P

1

2P

2

0

|

2!

2

0

P

dP

d | 0

C

dP

P

cos подставляем в(2)

d | 0

max

T

J

d 2

C 0

dt 2

ном

4) Переходим к операторной форме p

d

:

dt

TJ

p

2

C 0

линеаризованная модельсистемы

ном

TJ

p

2

C 0 характеристическое уравнение устойчивого режима,С>0

ном

5) Корни характеристического уравнения:

p

C ном

j

1,2

TJ

Видим, что одна пара корней дает одно колебание с частотой .

Эта частота называется системной - при ПП она будет наблюдаться во всех параметрах режима, т.е. они будут колебаться с этой частотой.

46

t

20кВ

T

2 рад – это внутренняя характеристика системы, которая не зависит от

T сек

места приложения возмущения и его вида, а определяется только параметрами самой системы x'd ,xc ,T j и параметрами режима 0 ,E',U

		x'		,x		,T
			d		c		j
	f			,E',U
			0

Наблюдающаяся в ЭЭС тенденция увеличения числа ДЛЭП и слабых межсистемных связей при объединении на параллельную работу приводит к снижению частоты ЭМК, которая в настоящее время составляет

1, 2 10(15)[рад/с] ,

f 0, 2 1,5[Гц]

II. Динамические свойства простейшей ЭЭС с упрощенным учетом демпфирования (диссипативная модель)

T

d 2

K

d

d

P

P ,

- демпферный коэффициент

J

K

dt2

dt T

эл

d

ном

ном

1.Уравнение движения в малых отклонениях

T		d 2		K	d		d	P 0
J
		dt2					dt
ном				ном

2.Линеаризуем (независимая переменная )

TJ		2		Kd		dP		dP
	p				p		0,			c
ном				ном		d
								d

откуда характеристическое уравнение

TJ	p2	Kd	p c 0
ном		ном

Корни характеристического уравнения

p1,2	K	d				K	d		2		c
											ном
	2TJ					2TJ					TJ
					0,06						47

47

Для стандартных значений параметров схемы и режима оказывается, что

	K	d	2		c
				<<	ном	, т.е. под корнем число отрицательное, а это значит, что
	2TJ				TJ

	K	d		c ω	ном		K	d	2
p1,2			j
	2TJ
				TJ			2TJ

Таким образом получаем пару комплексно-сопряженных корней р1,2 j . Общее решение, описывающее свободный переходный процесс в электриче-

ской	системе
k
t Ci e pit	i 1,..., k (Ci - постоянные, определяемые из начальных условий)

i 1

Внашем случае t C1 ep1t C2 ep2t .

Покажем, что пара комплексно-сопряженных корней дает одно колебательное движение.

В общем случае, как известно:

если корни действительные р , то С – действительные,

р1 j ,

то С1 A jB

если корни комплексно-сопряженные

р j

С A jB .

2

2

e t e j t

e t e j t

e t

e j t e j t

e j t e j t

t

А jB

А jB

[A

jB

]

e t

2Acos t 2B sin t

e j t cos t j sin t

1

1

2

2cos t

e j t e j t

e j t

cos t j sin t

2

1 2 2 j sin t e j t e j t

Обозначим

2A C sin

A

2

2

2

2

2

2

2

C

sin

cos

4 A B

;

C 2 A

B

,

arctg

2B C cos

B

Тогда

δ t Сe t sin cos t cos sin t Ce t sin ωt

Таким образом доказали, что два комплексно-сопряженных корня дают одно колебательное движение.

затухание

самораскачивание

48

Т период колебаний,		2		рад			,	1	ln	A0
					с
		Т						Т		A1

III. Динамические свойства автономной 2х машинной системы (консервативная идеализация)

E1 , 1

20кВ

Г1

Pdi 0,i 1,2

1). Уравнения движения

T

J1

d 2

1

P

P

dt 2

т1

1

ном

T

J 2

d 2

2

P

P

dt 2

т2

2

ном

TJ – постоянная инерции агрегатов (генератор-турбина)

				2 f	314	рад	– синхронная частота
		ном				c
	i		– абсолютный угол ротора генератора
	20кВ						Pi	Eqi	U	sin i
								xd

Pmax

Eqi

20кВ

i	U

Уравнение движения нелинейное, т.к. Pi Pmax sin i . Записываем уравнения в малых отклонениях.

2). Даем приращения переменным (запись в малых отклонениях)

i 0i i независимыепеременные Pi P0i Pi зависимыепеременные

E2 , 2

Г2

49

T

J1

d 2

1

P

P

P

dt 2

т1

01

1

ном

T

J 2

d 2

2

P

P

P

dt 2

т2

02

2

ном

Надо выбрать независимые, а зависимые разложить в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима.

T		J1		d 2
					1				P 0
				dt 2					1
	ном
T		J 2		d 2		2			P 0
				dt 2					1
	ном

3). Производим линеаризацию разложением в ряд Тейлора зависимых переменных по зависимым

P P dP			1 d			2	P	2
20кВ
0
	d		2! dt 2

			T			J1				d		2							dP																dP
											1										1																1											0
																																														2
											dt 2							d										1						d
					ном																																	2
																					1
			T			J 2				d		2		2					dP																dP
																					2																	2										0
																																															2
												dt 2							d									1							d
					ном																																		2
																					1
						T	J1					p2					dP																dP
		(																		1	)																1										0
																																													2
						ном											d 1							1								d 2
			(			TJ 2						p2					dP2					)											dP2										0
																												2
						ном											d 2																d 1												1
	T	J1 p2										dP														dP
											1																	1
	ном										d 1														d 2																							1
																																																			0
					dP															T																dP
																					J 2						p 2																						2
						2																																	2
				d 1															ном																	d 2
Заменяя символ дифференцирования																											d			p								(перешли к операторной форме
																											dt

обозначения).

50