PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

ся Uki 1 или Uki Сki и из системы исключается одно уравнение (т.к. остается (n-1) неизвестных компонент собственного вектора Ui ). Тогда решаем систему (n-1)

уравнений с (n-1) переменными, причем U

Aji

U ji i 0

U ji

U ji

т.е. нашли

Aki

Uki

i 0

Uki

1

*

ji

собственный вектор с точностью до Uki .

Лекция №12

Этапы определения показателей, характеризующих динамические свойства сложных ЭЭС

Определение этих показателей включает в себя следующие этапы:

1.Формирование математической модели ЭЭС в нормальной форме (в форме Коши с нулевыми начальными условиями)

pZ RZ

Основная цель этого этапа – определение матрицы состояния R . Эта цель достигается в результате линеаризации исходной нелинейной системы дифференциальных и алгебраических уравнений связи, описывающих поведение системы при малых возмущениях с последующим приведением ее к нормальной форме.

2.Расчет собственных значений и собственных векторов матрицы состояния R , которые связаны соотношением

RUi iUi

3. Выделение мод ЭМК Для модального анализа динамических свойств ЭС необходимо из всей сово-

купности вычисленных собственных значений выделить (k-1) пару комплексносопряженных собственных значений, соответствующих (k-1)-ой моде ЭМК, где k

– число СМ+ШБМ. Так как одна мода ЭМК обусловлена одной парой комплекс- но-сопряженных собственных значений, то такие собственные значения нумеру-

ются парами в порядке возрастания частот (ω↑).

i i j i i 1,....,(k 1)1 2 3 ..... k 1

Порядок матрицы состояния для крупных энергообъединений с учетом САР может достигать несколько сотен и тысяч. Анализ такого количества собственных значений и собственных векторов не имеет смысла.

Например, для маленькой ЭЭС, содержащей 10 генераторов (k=10). Каждый генератор представлен математической моделью 5-го порядка lг 5 , т.е. уравне-

ния движения – 2 порядка уравнения ПП в ОВ – 1 порядок

уравнения ПП в продольном и поперечном демпферных контурах – 2 поряд-

ка

61

Каждый генератор с АРВСД, если учесть 3 канала регулирования, то модель АРВ может описываться lАРВ 10 , т.е. порядок модели одного регулируемого ге-

нератора

l lг lАРВ 15

Для всех 10-ти генераторов: n k l 10 15 150 – порядок матрицы R .

R 150 150

U 150 150

i 150
С другой стороны, количество мод ЭМК (k-1)=9 при k=10.
	ЭМКi i 1,.....,9
ЭМКi
Из 150-ти значений надо выделить 9 пар комплексно-сопряженных собст-
венных значений ЭМКi ЭМКi j ЭМКi	, т.е. для анализа ЭМК 9 пар=18 комплекс-

но-сопряженных собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

4.	Определение подматрицы собственных векторов и их нормирование
Каждой паре собственных значений i → соответствует два комплексно-
сопряженных значения собственного вектора.
i	i j i	Ui	и	ˆ
				Ui
	i	i j i	i i	j i

Для модального анализа из всего спектра собственных значений выделяется (k-1) пара комплексно-сопряженных собственных значений и соответствующие им собственного вектора. При этом их каждых двух комплексно-сопряженных значений собственного вектора выбирают один собственный вектор (обычно, первый, не сопряженный вектор). Каждая компонента собственного вектора Ui –

это U ji – амплитуда соответствующей переменной состояния z j на i-ой частоте

n

колебания: z j (t) U ji i 0 e it , а каждый собственный вектор дает распреде-

i 1

ление амплитуд режимных параметров на соответствующей частоте ЭМК.

z1			U1i
z2			U2i
....			....
zn			Uni

zUi

Вкачестве переменных состояния z j выделяют переменные одной природы.

Как правило, в качестве таковых в собственном векторе выделяют углы (малые

62

отклонения) j , скольжения s j , где j = 1,…,k (т.е. для

k-машинной сис-

темы число частот ЭМК = (k-1)).

Таким образом, из полной модальной матрицы U n n выделяем две под-

матрицы U		и U	s	, размерность каждой из которых k k 1 .

В выделенных подматрицах собственного вектора переводятся из прямоугольной системы координат в полярную

U	ji	U	jU	U	ji	U	e j ji
		ji	ji			ji

1 2

k 1

n

Нормирование собственных векторов выделенных подматриц U и U s

U

Ui

, где

U

i

– норма собственного вектора

Ui

* i

Ui

max

U ji

– это максимальная компонента собственного вектора.

Если Umi

– максимальная компонента собственного вектора, которая выбра-

на в качестве нормы, то в нормированном собственном векторе

Umi

1

mi

0 .

0,3

0,03

Пусть U

10

, тогда

U

10 и U

1

i

i

* i

4

0,4

U			U ji ji		U ji
							ji		mi
*	ji	Umi mi		Umi

5. Установление иерархии мод ЭМК и определение синфазных генераторных групп.

Моды ЭМК можно разделить на 3 группы:

системные

подсистемные

локальные

63

Если k-генераторов, то (k-1) пара собственных значений составляют полный спектр мод ЭМК, которые по-разному проявляются в режимных параметрах ЭЭС. Наиболее опасны низкочастотные слабозатухающие или незатухающие ЭМК, охватывающие всю ЭС, т.е. проявляются в виде колебаний с большими амплитудами во всех режимных параметрах. Такие колебания называются системными.

При выполнении модального анализа динамических свойств ЭС необходимо, прежде всего, установить иерархию мод и выделить, в первую очередь, системные моды (частоты) ЭМК. Для этого проводится анализ нормированных собственных векторов U i на каждой i-ой частоте колебаний.

Иерархия мод устанавливается по двум признакам:

1.модуль компоненты собственных векторов U ji (по модулям собственных векторов)

2.фазы компоненты собственных векторов ji (по фазам собственных век-

торов)

Для системных мод ЭМК характерно, что все модули компонент собственного вектора лежат в диапазоне

0,1 U ji 1 – первый признак того, что мода претендует на системную или

подсистемную.

Для второго признака выделения системных мод необходимо различать два случая:

а) в модели ЭС есть ШБМ.

Тогда фазы компонент собственного вектора ( ji 0) близки к 0.

Все компоненты собственного вектора близки к друг другу и отличаются только по модулю. Векторная диаграмма собственного вектора на системной частоте имеет вид пучка. В этом случае говорят, что все генераторы колеблются синфазно относительно ШБМ на системной частоте.

б) в модели ЭС ШБМ отсутствуют.

На системной частоте система распадается на две системы С1 и С2, которые колеблются в противофазе.

Такого же типа диаграмма будет характерна и для подсистемных мод, но U ji 0,1, т.е. у части компонент собственного вектора

амплитуды будут малы (т.е. часть генераторов в колебаниях подсистемной моды участвовать не будут)

Синфазных групп генераторов может быть несколько, что характерно для подсистемных мод. Генераторы, входящие в одну синфазную группу (системы С1 и С2), можно рассматривать как одну эквивалент-

ную синхронную машину (СМ).

64

Совокупность линий, которые связывают противофазные системы С1 и С2 на системной или подсистемной частоте образуют сечения. В сечении А-А по линиям могут наблюдаться колебания с максимальной амплитудой перетоков мощности на системной или подсистемной частоте.

Если на какой-либо частоте ЭМК в собственном векторе одна компонента равна 1, а все остальные меньше 0,1, то такая мо-

да колебаний называется локальной:		Umi		1;	U ji	0,1 . Она

представляет собой колебание отдельной СМ относительно остальной части системы. В этом случае частота колебаний называется собственной частотой колебаний.

6. Определение наблюдаемости мод ЭМК

Оценивается по модулю компонент собственного вектора на данной i-ой частоте ωi U i или U Si . В качестве численной характеристики используется показатель наблюдаемости i , который определяется как отношение числа переменных состояния одной физической природы ( K1 ), имеющих коэффициент наблю-

даемости, превышающий 0,1, т.е.		U ji		0,1 к общему числу переменных ( K ), т.е.
компонент собственного вектора
			i				K1
							K
	Классификация мод							i
	Общесистемная мода							0,8
	Подсистемная мода						0,2 0,8
	Локальная мода						< 0,2

7. Определение управляемости мод.

Под управляемостью моды движения понимается возможность передвигать собственные значения в плоскости корней максимально влево для достижения необходимого уровня демпфирования ЭМК.

65

Осуществляется данное управление путем настройки САР, в частности, АРВСД синхронной машины. Если этого не достаточно, то путем изменения законов управления САР (в частности, закона регулирования АРВСД), установкой новых управляющих устройств и др.

Управлять i-ой модой ЭМК могут те генераторы, переменным состояния которых будут соответствовать близкие к единице модули i-го собственного вектора

U ji 1 . Таких генераторов для каждой системной и подсистемной моды может

быть несколько, для локальной моды – один.

1-й способ выбора генераторов для управления данной модой:

Для демпфирования системной и подсистемной мод необходимо выделить 1÷2 генератора с максимальными компонентами собственного вектора на системной и подсистемной частоте, для них построить область устойчивости и серию α- кривых и выбрать настройку, соответствующую максимальному демпфированию системной частоты колебания.

2-й способ:

Другой способ определения генераторов для демпфирования системной и подсистемной мод основан на применении коэффициентов чувствительности (коэффициентов затухания к изменению настроечных параметров АРВ):

			i	,
	ij		K j
здесь i				Re i	– коэффициенты затухания системных или подсистемных
мод,
K j		– K0 fj или K1 fj			j-го генератора.

Коэффициенты чувствительности определяют чувствительность коэффициента затухания i-ой моды колебаний к изменению j-го настроечного параметра АРВ.

Лекция №13

Задачи модального анализа динамических свойств ЭЭС. Модальный анализ динамических свойств

тестовой системы

1. Оценка статической устойчивости ЭС в заданном диапазоне режимов. Определяется коэффициентом затухания i Re i

i < 0 – система устойчива,

i > 0 – система не устойчива,

i = 0 – граница колебательной статической устойчивости;

2. Установление иерархии мод ЭМК nмод (k 1) и выделение системных, подсистемных и локальных мод ЭМК;

66

Определение сечений в ЭС, слабых с точки зрения демпфирования системных и подсистемных мод; 3. Оценка качества демпфирования различных мод ЭМК по коэффици-

енту затухания i

кр 0,14 с 1

5, 6. В том случае, если не обеспечивается требуемое качество демпфирования – выявление генераторов, АРВ которых могут управлять незатухающими или слабозатухающими модами ЭМК, т.е. настроить или перенастроить АРВСД для обеспечения максимального демпфирования системных и подсистемных мод колебаний при удовлетворительном демпфировании локальных мод.

МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТЕСТОВОЙ СХЕМЫ

Рассматривается шестимашинная схема, которая не содержит ШБМ. Имеется 3 воздушных линии с Uном 220 кВ и 2 воздушных линии с Uном 500 кВ . Электростанции Г1, Г2, Г3, Г4 и Г5, а Г6 – синхронный компенсатор. На основе модального анализа динамических свойств можно сделать следующие выводы:

1.Система статически устойчива, т.к. все i Re i < 0 i=1, …, 5, т.е. все составляющие движения затухают, имеется 5 мод ЭМК с частотами от 4,8

до 15,6 рад

(0,76÷2,48 Гц).

с

0,14 c 1 , т.е. на системной частоте 4,8

рад

не обеспечива-

1

min

1

c

ется требуемый уровень демпфирования, т.к.

0,03

min

0,14 c 1 . Слабоза-

1

тухающие низкочастотные колебания могут привести к неправильному действию оперативного персонала, ложному срабатыванию релейной защиты и, как следствие, системной аварии. Улучшение демпфирования необходимо.

67

	№ моды	1	2	3	4	5
j		-0,03±j4,8	-0,25±j7,9	-0,54±j9	-0,83±j10	-0,9±j15,6
	р/с	4,8	7,9	9,0	10,0	15,6
	СВ		Коэффициенты распределения амплитуд ЭМК
№ ген-ра		U1	U2	U3	U4	U5
Г1 ( 1)		1 00	0,1 1740	0,03 1780	0,01 1770	0,02 1800
Г2 ( 2 )		0,6 40	1 00	0,9 1800	0,01 20	0,05 1820
Г3 ( 3 )		0,6 30	0,9 0,30	1 00	0,04 40	0,08 1840
Г4 ( 4 )		0,2 2000	0,05 10	0,01 50	0,9 1800	0,01 200
Г5 ( 5 )		0,2 1980	0,04 1,20	0,01 1810	1 00	0,01 90
Г ( 6 )		0,5 50	0,3 30	0,09 60	0,03 1940	1 00
i	показатели	1,0	0,67	0,3	0,3	0,16
наблюдаемости
Тип моды		Системная	Подсистемная	Локальные внутристанцион-		Локальная
ЭМК		мода	мода (основной	ные моды		''собственная
			вклад в колеба-			частота ко-
			ния Г2)			лебаний СК''

68

2, 3. Установление иерархии мод ЭМК и выявление опасных сечений в схе-

ме.

1-я мода:

1 4,8 рад c

2-я мода:2 7,9 рад c

3 9 рад c

– системная мода (входят все генераторы)

На системной частоте система распалась на две подсистемы:

1-я подсистема: Г1, Г2, Г3, Г6; 2-я подсистема: Г4, Г5.

На этой, самой низкой частоте (системная мода) можно выделить опасное сечение А-А (линии 11-12 и 8-13). По линиям в этом сечении будет наблюдаться наибольшая амплитуда колебаний потоков мощности на этой низкой частоте.

– это подсистемная мода, т.к. Г4 и Г5 не входят.

1-я подсистема: Г2, Г3, Г6; 2-я подсистема: Г1.

Опасное сечение В-В (линии 8-9 и 8-7) – не полное сечение.

По этим линиям на частоте	7,9	рад	будет наблюдать-
2		c

ся наибольшая амплитуда колебаний потоков мощности.

3-я и 4-я моды:

4 10 рад c

Г2, Г3 – генераторы одной станции Г4, Г5 – генераторы одной станции

5-я мода:

Локальная мода ЭМК, частота 5 в системе проявляться не будет. Это ''собственная частота синхронного компенсатора (СК)'' – достаточно большая величина 15,6 рад c , т.к. СК не имеет турбины.

69

4. Качество демпфирования системной формы ЭМК оценили уже в пункте 1 – слабозатухающая низкочастотная системная форма. Требуемый уровень демпфирования ЭМК не обеспечен.

5, 6. Наблюдаемость, управляемость. Показатели наблюдаемости:

№ моды	1			2			3			4			5
i	1,0			0,67			0,3			0,3			0,16
	6			4			2			2			1
	6			6			6			6			6

Системная мода 1 наблюдается для всех генераторов, но максимально она

проявляется для Г1, Г2 и Г3 и управление этой модой можно осуществить за счет выбора оптимальной настройки АРВСД Г1. 2 – подсистемная мода. Более всего

проявляется в Г2 и Г3, следовательно управление ею (повышение 2 до 0,5 с 1 )

можно обеспечить за счет оптимальной настройки АРВСД Г2 и Г3, т.е. надо в обоих случаях строить область устойчивости и выбирать оптимальную настройку.

Итак, общее решение для переменной состояния Г1 – 1 – это сумма мод ЭМК:

t 1

0 e 0,03t sin 4,8t 0

0,1

0 e 0,25t sin

7, 9t 174

1

2

1

[0, 03 3 0 e

180

sin 9t 178

0, 01 4

0 e

sin 10t 177

0,54t

0,83t

180

180

0, 02

0

e 0,9t sin 15, 6t 180

]

5

180

Содержимое квадратных скобок [ ] – очень малы.

Тогда общее решение 1 t 11 t

12 t

системная

подсистемная

мода ЭМК

мода ЭМК

Доминирующая составляющая 11 t из-за того, что она слабо затухает

0,03 < 0,25.

Вспомним, что пара комплексно-сопряженных корней дает одно колебательное ! движение

t С е t sin t

70