- •Элементы линейной алгебры с приложением
- •Введение
- •1. Определители
- •Определителем матрицы Вназывается число
- •2. Системы линейных уравнений
- •Рассмотрим снова систему (2). Определитель
- •3. Векторы и ленейные операции над ними
- •4. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат. Скаряное произведение
- •Доказательство.Используя свойства 3, 4, получим
- •5. Векторное и смешанное произведения
- •Легко проверить исходя из определения векторного произведения, что
- •6. Уравнение плоскости и прямой
- •Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку м1имеет вид
- •7. Матрицы
- •Пусть дана квадратная матрица
- •Покажем, что
- •8. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений
- •Рассмотрим матрицу
- •Матрицы
- •Пример 2. Решить систему
- •По формулам Крамера
- •9. Линейные преобразования. Собственные векторы
- •Матрица
- •Так как 0, то1,2,3– ненулевое решение однородной системы
- •В силу следствия из раздела 8
- •В двумерном случае система (3) имеет вид
- •Замечание.Если матрица Аφлинейного преобразованияв базе диагональная:
- •10. Симметрические и ортогональные матрицы Квадратная матрица вида
- •Оказывается, что векторы 1и2перпендикулярны. В самом деле, применяя лемму, получаем
- •Матрица
- •Матрица преобразования в базе1,2диагональная
- •11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка
- •12. Положительные матрицы
- •13. Балансовая модель
- •14. Продуктивные матрицы
- •15. Норма матрицы
- •16. Итерационный метод
- •17. Возмущение решений
- •18. Демографический рост
- •19. Регрессионные модели
- •20. Постановка транспортной задачи
- •20.1 Математическая формулировка транспортной задачи.
- •20.2 Базисное распределение в транспортной задаче
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 11
- •21. Техника решения транспортной задачи вручную (метод потенциалов)
- •Вариант 13
- •22. Формализация производственных задач линейного программирования
- •23. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •24. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •24.1 Общая формулировка задачи линейного программирования
- •24.2 Заполнение симплексной таблицы по строкам
- •Симплексная таблица
- •24.3 Заполнение симплексной таблицы по столцам
- •24.4 Двойственные задачи, оценки, проблемы.
- •Ответы к вариантам:
- •25. Метод последовательных приближений (метод итерации)
- •26. Условия сходимости итерационного процесса
- •27. Оценка погрешности приближенного процесса метода итерации
- •28. Метод зейделя. Условия сходимости процесса зейделя
- •29. Оценка погрешности процесса зейделя
- •30. Привеление системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации
- •31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Вариант 1
- •Вариант 9
- •Экзаменационные вопросы
По формулам Крамера
Эти равенства определяют общее решение заданной системы. Придавая в них свободным неизвестным х1, х4 произвольные числовые значения, получаем все решения нашей системы.
9. Линейные преобразования. Собственные векторы
Для простоты и наглядности ограничимся рассмотрением векторного пространства R2 или R3, т.е. совокупности векторов пространства или плоскости. Будем считать, что все векторы исходят из фиксированной точки O.
Пусть задано отображение пространства в себя, т.е. каждому вектору пространства сопоставлен векторэтого же пространства. Отображение называется линейным преобразованием, если для любых векторов ипространства и любого числа выполняются равенства:
I) ,
2) .
Пример I. Пусть 0 – фиксированное число. Полагаем для любого вектора а пространства. Легко проверить, что - линейное преобразование.
2. Поворот плоскости вокруг точки O на некоторый угол есть линейное преобразование пространства R2.
3. Пусть – база (базис) R3. Если – произвольный вектор изR3, то . Пусть - линейное преобразование R3. Тогда в силу равенств I), 2) . Поэтому достаточно знать действия на элементах базы. Возникает вопрос, существует ли такое линейное преобразование, которое базисные элементы отображает на произвольно выбранные векторы. Ответ положительный. Если положить
.
то - линейное преобразование и = с1, = с2, = с3. (Проверьте!)
Зафиксируем в пространстве R3 некоторый базис . Пусть - линейное преобразование этого пространства. Разложим векторы по базе: = 11ℓ1 + 12ℓ2 + 13ℓ3,
= 21ℓ1 + 22ℓ2 + 23ℓ3,
= 31ℓ1 + 32ℓ2 + 33ℓ3.
Матрица
(I)
называется матрицей линейного преобразования в базе .
Теорема 1. Пусть Bφ - матрица линейного преобразования в базе 1, 2, 3. Тогда матрицы Аφ и Bφ подобны, т.е. найдется такая невырожденная матрица Т, что
Bφ = T Аφ T-1, Аφ = T-1 Bφ T.
Если – линейное преобразование, для которого = ω1, =ω2, = ω3, то в качестве матрицы Т можно взять матрицу преобразования в базе .
Опускаем доказательство, которое можно провести прямым вычислением.
Если - некоторое неизвестное, Е – единичная матрица 3-го порядка, то многочлен 3-й степени
называется характеристическим многочленом преобразования (матрицы Аφ), уравнение - называетсяхарактеристическим уравнением преобразования (матрицы Аφ), а корни этого уравнения – характеристическими корнями преобразования (матрицы Аφ).
Теорема 2. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами, а значит, и одинаковыми характеристическими корнями.
Доказательство. Пусть A = T-1BT. Тогда
В этой цепочке равенств второе следует из того, что Е перестановочна с любой матрицей, третье получается в силу закона дистрибутивности, четвертое равенство выполняется, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, а последнее равенство вытекает из соотношения
.
Определение. Ненулевой вектор называетсясобственным вектором линейного преобразования , если а = 0, где 0 – некоторое действительное число, оно называется собственным значением преобразования .
Считаем, что собственный вектор относится к собственному значению0. Заметим, что если – собственный вектор, то и– собственный вектор для любого 0. Действительно, ===.
В примере 1 каждый ненулевой вектор является собственным, а в примере 2, если угол поворота не является кратным , линейное преобразование не имеет собственных векторов.
Рассмотрим линейное преобразование с матрицей (I) в базе и предположим, что вектор является собственным вектором преобразования .
(2)
Тогда
.
Из формулы (2), приравнивая координаты, получаем
111 + 221 + 331=01,
112 + 222 + 332=02,
113 + 223 + 333=01.