2. 2. Системы линейных уравнений

Рассмотрим сначала систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и:

(1)

Если все числа равны нулю, то любая пара чиселиявляются решением этой системы. Если жеравны нулю, а хотя бы одно из чиселилиотлично от нуля, то система (1) не имеет решения, (или, как говорят,несовместна). Поэтому будем считать, что хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

Пусть . Исключим неизвестнуюиз второго уравнения. Для этого умножим первое уравнение наи сложим со вторым.

Получим равносильную (1) систему

1. . Тогда, анаходим из первого уравнения (система имеет единственное решение).

2. ,. Система несовместна.

3. . Тогда- любое действительное число.

(система имеет бесконечное множество решений).

Пример 1. Решить систему

Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко второму. Получим систему

Она несовместна (случай 2)

Рассмотрим теперь систему трех уравнений с тремя неизвестными

(2)

Снова считаем, что, например, . Исключаем неизвестнуюиз второго и третьего уравнений. Умножим сначала первое уравнение наи прибавим ко второму, затем первое уравнение умножим наи складываем со вторым. Получим равносильную (2) систему:

,

второе и третье уравнения, которой составляют систему вида (1), которую мы умеем решать. Если она совместна, то находим из первого уравнения. Если она несовместна, то и система (2) несовместна.

Замечание. Изложенный прием решения системы линейных уравнений вида (1), (2) являются универсальными. Он называется методом последовательного исключения неизвестных или методом Гаусса.

Пример 2. Решить систему

Умножим первое уравнение на (-3) и прибавим ко второму, затем умножим первое уравнение на (-4) и складываем с третьим. Получим

Умножим теперь второе уравнение на (-6) и прибавим к третьему.

Получим . Тогда из второго уравнения, а из первого -.

1. Рассмотрим снова систему (2). Определитель

,

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Пусть

.

Теорема (правило Крамера). Если определитель , то система (2) имеет единственное решение, которое находят по формулам

(3)

Доказательство. Тот факт, что значение полученные по формуле (3), являются решением системы (2) можно проверить непосредственной подстановкой. Покажем, что это решение единственное. Умножим первое уравнение системы на алгебраическое дополнениеэлементав, второе – на алгебраическое дополнениеэлементаи третье – на алгебраическое дополнениеэлемента:

Складывая все эти уравнения, получаем:

т.е. в силу свойств 7, 8 определителей

Аналогично получаем равенства . Таким образом, решение (3) единственное. Теорема доказана.

Замечание 1. Если , то правило Крамера не применимо, а систему можно решить, например, методом Гаусса.

Замечание 2. Правило Крамера остается справедливым и для системы n линейных уравнений с n неизвестными :

Если

- определитель, который получается из заменой-го столбца столбцом свободных членов, то система имеет единственное решение:

Пример 3. Решить систему из примера 2 по правилу Крамера.

Поэтому правило Крамера применимо. Находим