- •Элементы линейной алгебры с приложением
- •Введение
- •1. Определители
- •Определителем матрицы Вназывается число
- •2. Системы линейных уравнений
- •Рассмотрим снова систему (2). Определитель
- •3. Векторы и ленейные операции над ними
- •4. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат. Скаряное произведение
- •Доказательство.Используя свойства 3, 4, получим
- •5. Векторное и смешанное произведения
- •Легко проверить исходя из определения векторного произведения, что
- •6. Уравнение плоскости и прямой
- •Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку м1имеет вид
- •7. Матрицы
- •Пусть дана квадратная матрица
- •Покажем, что
- •8. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений
- •Рассмотрим матрицу
- •Матрицы
- •Пример 2. Решить систему
- •По формулам Крамера
- •9. Линейные преобразования. Собственные векторы
- •Матрица
- •Так как 0, то1,2,3– ненулевое решение однородной системы
- •В силу следствия из раздела 8
- •В двумерном случае система (3) имеет вид
- •Замечание.Если матрица Аφлинейного преобразованияв базе диагональная:
- •10. Симметрические и ортогональные матрицы Квадратная матрица вида
- •Оказывается, что векторы 1и2перпендикулярны. В самом деле, применяя лемму, получаем
- •Матрица
- •Матрица преобразования в базе1,2диагональная
- •11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка
- •12. Положительные матрицы
- •13. Балансовая модель
- •14. Продуктивные матрицы
- •15. Норма матрицы
- •16. Итерационный метод
- •17. Возмущение решений
- •18. Демографический рост
- •19. Регрессионные модели
- •20. Постановка транспортной задачи
- •20.1 Математическая формулировка транспортной задачи.
- •20.2 Базисное распределение в транспортной задаче
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 11
- •21. Техника решения транспортной задачи вручную (метод потенциалов)
- •Вариант 13
- •22. Формализация производственных задач линейного программирования
- •23. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •24. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •24.1 Общая формулировка задачи линейного программирования
- •24.2 Заполнение симплексной таблицы по строкам
- •Симплексная таблица
- •24.3 Заполнение симплексной таблицы по столцам
- •24.4 Двойственные задачи, оценки, проблемы.
- •Ответы к вариантам:
- •25. Метод последовательных приближений (метод итерации)
- •26. Условия сходимости итерационного процесса
- •27. Оценка погрешности приближенного процесса метода итерации
- •28. Метод зейделя. Условия сходимости процесса зейделя
- •29. Оценка погрешности процесса зейделя
- •30. Привеление системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации
- •31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Вариант 1
- •Вариант 9
- •Экзаменационные вопросы
7. Матрицы
Рассмотрим прямоугольную числовую таблицу (матрицу)
которая имеет размеры (m строк, n столбцов). Сокращенная запись:
Элемент матрицы А расположен вi – й строке и j – м столбце.
Пример 1. Матрица
имеет две строки и четыре столбца (размеры 2×4).
Если m=n, то А называется квадратной матрицей порядка n.
Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Произведением матрицы на число α называется матрица , элементы которой получаются из элементов матрицы А умножением на .
Пример 2.
,
Если ,- матрицы одинакового размера, матрица того же размера,называетсясуммой матриц А и В (С=А+В).
Пример 3.
Пусть А=() – матрица размераm×n, В=() – матрица размераn×p, т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А на В называется матрица С=() размераm×p (C=A∙B), элементы которой находят по следующему правилу: элемент i –й строки и j –ого столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А на соответствующие элементы j –ого столбца матрицы В, т.е.
,
Пример 4.
Пример 5. Если
,
то произведение АВ не определено.
Пример 6.
;
Таким образом, коммутативность умножения матриц в общем случае не имеет место. Можно проверить, что умножение матриц ассоциативно, т.е.
во всех случаях, когда умножение определено, а сложение и умножение связаны законами дистрибутивности:
.
Можно сказать также, что если А и В – две квадратные матрицы, то
(1)
Рассмотрим квадратные матрицы вида:
.
Такие матрицы называются единичными, так как если А – произвольная квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица порядка n, то
АЕ=ЕА=А.
Пусть дана квадратная матрица
порядка n. Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной для А, если АА-1=А-1А=Е. Матрица А называется невырожденной, если .
Теорема. Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Доказательство. Пусть . Предположим, что матрица А имеет обратную. Тогда ввиду (1) получаем, что. Противоречие.
Пусть теперь ,- алгебраическое дополнение элементав.
Покажем, что
(2)
Заметим, что здесь алгебраическое дополнение элементов i-ой строки матрицы составляетi-й столбец.
Если , то
В силу свойства 7, 8 определителей (см.раздел 1)
Таким образом, С=Е. Аналогично доказывается, что ВА=Е т.е. В=А-1. Теорема доказана.
Обратную матрицу для невырожденной матрицы А находят по формуле (2).
Пример 7. Найти А-1, если
Решение.
По формуле (2)
Проверку сделайте самостоятельно.
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными
(3)
Обозначим
.
Тогда система (3) равносильна матричному уравнению –
AX=B (4)
Предположим теперь, что , а значит, по теореме существует матрицаA-1. Используя ассоциативность умножения матриц, легко решить матричное уравнение (4). Умножим обе части этого уравнения слева на A-1:
т. е. .
Пример 8. Решить матричным способом систему уравнений
В нашем случае
найдена в примере 7 данного раздела. Итак,
т.е. x=1, y =0, z =-1.