13. Балансовая модель

В начале 30-х гг. профессор Гарвардского университета В. Леонтьев предложил линейную модель национальной экономики. Эта модель предполагает, что экономика состоит из некоторого числа взаимодействующих отраслей, каждая из которых производит только один вид продукции и использует только один процесс производства. Например, сельское хозяйство и сталелитейная промышленность могут быть рассмотрены как отрасли. Для продажи своей продукции данная отрасль взаимодействует с другими отраслями и внешним рынком. Итак, пусть х_i будет обозначать количество единиц продукции, произведеннойi-й скоростью в данном году. Пусть спрос на конечную продукцию этой отрасли равен у_i. Пусть х_ijединиц продукцииi-й отрасли потребляетj-я отрасль. Таким образом, еслиi-я отрасль в точности удовлетворяет спрос внутреннего и внешнего рынка, то

x_i = x_i1 + x_i2 +…+ x_in + y_i,

и мы получаем балансовое уравнение для каждой отрасли i.

Важное предположение, сделанное В. Леонтьевым, заключается в линейном законе, т.е.

x_ij=a_ijx_j,

где а_ij– коэффициент пропорциональности, зависит от технологииj-й отрасли.

Окончательно

x_i = а_i1x₁ +…+ а_inx_n + y_i, i = 1, …, n. (4)

Балансовые уравнения (4) могут быть записаны в матричном виде

X=AX+Y,

где

;;.

Количество единиц продукции х_iв уравнении (4) может быть заменено их стоимостным и ценовым содержанием. Модель (4), несмотря на свою простоту, может оказаться весьма полезной, для изучения влияния изменения цен в одной отрасли на цены в других отраслях.

Упражнения

1. Для балансовой таблицы «затраты - выпуск»

	Р1	Р2	Y	X
Р1	100	160	240	500
Р2	275	40	85	400

Найти таблицу технологических коэффициентов и записать балансовую модель в матричном виде.

2. Восстановить недостающие элементы в таблице

	Р1	Р2	Y	X
Р1			6
Р2			7

Если задана таблица технологических коэффициентов

.

14. Продуктивные матрицы

Запишем матричный вид для балансовой модели

X = AX + Y.

Известно, что необходимым и достаточным условием существования и единственности элемента Х при любом элементе Yявляется невырожденность матрицы Е – А, так как

(E - A)X = Y.

Однако для сохранения экономического смысла решения этого уравнения необходимо дополнительно потребовать, чтобы для любого элемента Y≥ 0 решение Х было также неотрицательным.

Заметим, что не для всякой неотрицательной матрицы А ≥ 0 такое условие выполняется. Например, для матрицы

нет неотрицательных решений для Y≥ 0. Таким образом, исследование балансовых уравнений сводится к выяснению условий, которым должна удовлетворять неотрицательная матрица А, для того чтобы существовало неотрицательное решение при любом неотрицательномY.

Неотрицательная матрица А > 0 называется продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный элемент Х > 0, что

(E - A)X > 0.

В экономической системе с такой матрицей каждый объект производит конечный продукт.

Рассмотрим некоторые свойства продуктивных матриц.

Лемма 1.Для продуктивной матрицы А

.

Доказательство. Пусть матрицы–столбцы Х₁и Х₂связаны соотношением

Х₁≥ Х₂,

тогда для А ≥ 0

АХ₁≥ АХ₂.

С учетом продуктивности А

Х > АХ ≥ 0.

Для последнего неравенства вытекает существование 0 < < 1, такого, что

Х > АХ. (5)

Умножая (5) слева на матрицу А, получим

АХ > А²Х. (6)

Умножая (5) на получим

²Х >АХ. (7)

Объединяя (6) и (7) получим

²Х > А²Х ≥ 0.

Поступая аналогичным образом, можно получить

^kХ > А^kХ ≥ 0

для любой степени k. Поскольку 0 << 1, то элементы матрицы А^kстремятся к нулю приk→ ∞, так как Х > 0.

Лемма 2.Если для продуктивной матрицы А существует Х, такой, что

Х ≥АХ, (8)

то

Х ≥ 0.

Доказательство. Умножая (8) последовательноk– 1 раз на матрицу А, получим цепочку неравенств

Х ≥ АХ ≥ А²Х ≥ А^kХ.

Рассматривая эту цепочку при k→ ∞ и применяя лемму 1, получаем Х ≥ 0.

Лемма 3. Если А – продуктивная матрица, тоdet(E-A) ≠ 0.

Доказательство. Предположим противное, т.е.det(E-A) = 0, тогда существует Х ≠ 0, удовлетворяющий системе

(Е - А) Х = 0, (9)

или

Х = АХ

по лемме 2

Х ≥ 0. (10)

Элемент (-Х) также удовлетворяет (3.9), следовательно, по лемме 2.

(-Х) ≥ 0. (11)

Объединяя (10) и (11), получаем Х = 0, т.е. система (9) имеет только нулевое решение. Полученное противоречие доказывает лемму.

Теорема 1.Для существования единственного неотрицательного решения Х ≥ 0 для балансовых уравнений

(E - A)X = Y

при любом неотрицательном Y≥ 0 необходима и достаточна продуктивность матрицы А.

Доказательство необходимости.

Пусть существует Х ≥ 0 при любом Y≥ 0, среди которых выберемY> 0, т.е.

(E-A)X=Y> 0. (12)

Покажем, что Х>0. Действительно, из (12) вытекает

Х – АХ > 0 или Х > АХ,

Так как А ≥ 0 и Х ≥ 0, то Х > АХ ≥ 0 и, следовательно, Х>0. существование элемента Х>0 для неравенства

(E - A)X > 0

доказывает продуктивность матрицы А.

Доказательство достаточности. Балансовое уравнение

(E - A)X = Y

с продуктивной матрицей А по лемме 3 имеет единственное решение при любом Y. ЕслиY≥ 0, то

Х ≥ АХ.

В силу леммы 2 Х ≥ 0, и теорема доказана полностью.

При расчете производительной программы Х необходимо заранее знать, является ли матрица технологических коэффициентов продуктивной.

Рассмотрим критерии продуктивности.

Теорема 2. Матрица А ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрицаS=(E-A)^-1существует и неотрицательна.

Доказательство необходимости. Пусть А – продуктивная матрица. Запишем, согласно определению обратной матрицы,

(Е - А)S= Е. (13)

Представим матрицу SиEв блочно – столбцовом виде:

.

Тогда матричное уравнение (13) эквивалентно nуравнениям

(Е - А)S_j=E_j,j= 1, …,n. (14)

Так как E_j неотрицательна, то, по теореме 3.6,S_i≥ 0.

Доказательство достаточности.

Пусть Sсуществует и неотрицательна. Покажем, что существует элемент Х>0, для которого Х > АХ. Рассмотрим матрицу-столбецU, элементами которой являются единицы. Пусть

X=SU. (15)

Поскольку Sне может иметь строк, состоящих из одних нулей, то

Х>0.

Умножая (15) слева на (Е - А), получаем

(Е - А)Х = U> 0,

что доказывает продуктивность матрицы А.

Упражнения

1. Используя соотношение (14), дайте экономическое толкование столбцам матрицы S.

2. Являются ли следующие матрицы продуктивными:

а) ; б); в).

3. Может ли продуктивная матрица иметь характеристический корень, равный 1.

4. Может ли продуктивная матрица быть диагональной; ортогональной.