- •Элементы линейной алгебры с приложением
- •Введение
- •1. Определители
- •Определителем матрицы Вназывается число
- •2. Системы линейных уравнений
- •Рассмотрим снова систему (2). Определитель
- •3. Векторы и ленейные операции над ними
- •4. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат. Скаряное произведение
- •Доказательство.Используя свойства 3, 4, получим
- •5. Векторное и смешанное произведения
- •Легко проверить исходя из определения векторного произведения, что
- •6. Уравнение плоскости и прямой
- •Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку м1имеет вид
- •7. Матрицы
- •Пусть дана квадратная матрица
- •Покажем, что
- •8. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений
- •Рассмотрим матрицу
- •Матрицы
- •Пример 2. Решить систему
- •По формулам Крамера
- •9. Линейные преобразования. Собственные векторы
- •Матрица
- •Так как 0, то1,2,3– ненулевое решение однородной системы
- •В силу следствия из раздела 8
- •В двумерном случае система (3) имеет вид
- •Замечание.Если матрица Аφлинейного преобразованияв базе диагональная:
- •10. Симметрические и ортогональные матрицы Квадратная матрица вида
- •Оказывается, что векторы 1и2перпендикулярны. В самом деле, применяя лемму, получаем
- •Матрица
- •Матрица преобразования в базе1,2диагональная
- •11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка
- •12. Положительные матрицы
- •13. Балансовая модель
- •14. Продуктивные матрицы
- •15. Норма матрицы
- •16. Итерационный метод
- •17. Возмущение решений
- •18. Демографический рост
- •19. Регрессионные модели
- •20. Постановка транспортной задачи
- •20.1 Математическая формулировка транспортной задачи.
- •20.2 Базисное распределение в транспортной задаче
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 11
- •21. Техника решения транспортной задачи вручную (метод потенциалов)
- •Вариант 13
- •22. Формализация производственных задач линейного программирования
- •23. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •24. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •24.1 Общая формулировка задачи линейного программирования
- •24.2 Заполнение симплексной таблицы по строкам
- •Симплексная таблица
- •24.3 Заполнение симплексной таблицы по столцам
- •24.4 Двойственные задачи, оценки, проблемы.
- •Ответы к вариантам:
- •25. Метод последовательных приближений (метод итерации)
- •26. Условия сходимости итерационного процесса
- •27. Оценка погрешности приближенного процесса метода итерации
- •28. Метод зейделя. Условия сходимости процесса зейделя
- •29. Оценка погрешности процесса зейделя
- •30. Привеление системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации
- •31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Вариант 1
- •Вариант 9
- •Экзаменационные вопросы
Матрица
называется ортогональной, если t11i+t12j, t21i+t22j образуют ортонормированный базис в R2, т.е. t211+t212=t221+t222=1, t11t12+t21t22=0. Другими словами, Т'=T-1, где Т' получается из Т транспонированием. Аналогично определяется ортогональная матрица 3-го порядка.
Теорема 2. Для каждой симметрической матрицы А можно найти такую ортогональную матрицу Т, что матрица ТАТ-1 будет диагональной.
Это является следствием предыдущей теоремы и теоремы 1 раздела 9.
Пример. Пусть
.
Найти такую ортогональную матрицу Т, что ТАТ-1– диагональная матрица.
Решение. Пустьтакое линейное преобразованиеR2, что матрица Ав ортонормированной базесовпадает с А (см. раздел 9, пример 3). Векторыявляются собственными векторами преобразования, относящимися к собственным значениям (9) и (1) (пример 4, раздел 9). Нормируя, получаем
т.е. ортонормированную базу, состоящую из собственных векторов преобразования .
Матрица преобразования в базе1,2диагональная
.
В силу теоремы 1 раздела 9, если
,
то ТАТ-1=Bφ.
11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка
Квадратичной формой двух переменных х и у называется сумма вида
f(x,y) = 1x2+2xy+2y2. (1)
Симметрическая матрица
называется матрицей квадратичной формыf(х,у).
Выполним линейную замену переменных:
(2)
которое определяется матрицей
. (3)
Непосредственным вычислением легко проверить, что квадратичная форма (1) перейдет в квадратичную форму от переменных х, у с матрицей
TAT'.
где Т'получается из Т транспонированием.
Квадратичная форма вида
1х12+2х22(4)
называется канонической, ее матрица является диагональной.
12. Положительные матрицы
Матрица называетсяположительной(неотрицательной), если. В первом случае будем писать А >0, во втором А ≥ 0. Рассмотрим весьма важные для экономических приложений свойства положительных матриц.
Теорема. Положительная матрица А всегда имеет положительный характеристический корень0, который является простым. Все остальные характеристические корни по модулю меньше0. Собственный столбец, отвечающий0, может быть выбран положительным.
Доказательство.Рассмотрим множество столбцов, определенные соотношением
Очевидно, что нулевой столбец не входит в это множество. Положим для А:
.
Пусть S() – множество всех неотрицательных, для каждого из которых, найдется неотрицательный столбец Х, такой, что
Х ≤ АХ.
Суммируя левые и правые части, получим ≤ М. Отсюда следует, чтоS() является ограниченным множеством и, кроме того, непустым, поскольку А положительная матрица.
Пусть - последовательность чиселi, сходящаяся к0, а- последовательность столбцов, таких, что
iXi ≤ AXi, i=1, 2,… .
Выбираем из подпоследовательность, сходящуюся к Х0– неотрицательному ненулевому вектору. Так как при этом
0X0≤AX0, (1)
то S().
Покажем, что в (3.1) выполняется на самом деле равенство. Доказательство проведем от противного. Предположим без потери общности, что
(2)
где хi,i= 1, 2, …,n– компоненты вектора Х0. Рассмотрим теперь столбец
.
Из (3.2) следует, что АY0Y. Последнее неравенство противоречит свойству максимальности0. следовательно,d= 0 и равенство должно иметь место во всех соотношениях (3.2). это означает, что0– собственное значение, а Хi – отвечающий ему собственный столбец, который положителен.
Покажем теперь, что 0– наибольшее по модулю собственное значение. Предположим, что существует характеристическое числоматрицы А, такое, что. ПустьZ– соответствующий этому числу собственный столбец, тогда изAZ=Zследует, что
, (3)
где - это столбец, компоненты которого являются модулями компонент столбцаZ. Из неравенства (3.3) и определения0следует, что. Отсюда, следовательно,0– наибольшее по модулю значение матрицы А.
Покажем в заключение, что 0является простым характеристическим числом. ПустьU– вещественный собственный вектор матрицы А, соответствующий0и непропорциональный Х0. нетрудно подобрать такое, чтобы столбец Х0+Uбыл неотрицательным и имел некоторые компоненты равными нулю, ноA(X0+U)=0(X0+U) > 0, и мы приходим к противоречию. Которое доказывает простоту0. Доказательство теоремы Перрона завершено.
Для неотрицательных матриц имеется обобщение теоремы Перрона. Приведем без доказательств формулировку этого результата.
Квадратная матрица называется разложимой, если множество индексов, которыми занумерованы столбцы и строки, можно разбить на два непустых пересекающихся множестваS1иS2, таких, что аij = 0 для всехiS1, jS2.
Теорема (Фробениуса). Неотрицательная неразложимая матрица А всегда имеет простой положительный характеристический кореньR. Все остальные характеристические корни лежат в круге. Собственный вектор, отвечающийR, может быть выбран положительным.
Упражнения
Найти перронов корень и соответствующий ему собственный столбец для матрицы
.
Является ли разложимой матрица
.