Так как 0, то1,2,3– ненулевое решение однородной системы

(3)

В силу следствия из раздела 8

.

Отсюда по свойству 1 определителей (см. раздел 1) получаем

т.е. ₀ – характеристический корень матрицы А_φ.

Итак, для нахождения собственных векторов преобразования надо:

1) взять характеристический корень ₀ матрицы А_φ.

2. найти ненулевое решение ₁, ₂, ₃ системы (3). Тогда собственный вектор преобразования.

Пример 4. пусть в базе векторов плоскости матрица линейного преобразования имеет вид

А_φ .

Найти собственные векторы преобразования .

Решение. Запишем характеристическое уравнение и решим его:

(5-)²-16 = 0 ₀=9, ₁=1.

В двумерном случае система (3) имеет вид

(4)

если

А_φ .

Для определения координат собственных векторов получим две системы линейных уравнений:

1. ₀=9

.

Общее решение: х₁=-х₂. Собственные векторы:

, t  0

2. ₁=1

Общее решение: х₁=х_2. собственные векторы:

, t  0

Замечание.Если матрица Аφлинейного преобразованияв базе диагональная:

А_φ .

то по определению матрицы А_φ. т.е. – собственные векторы преобразования . Очевидно, что верно и обратное утверждение.

10. Симметрические и ортогональные матрицы Квадратная матрица вида

,

называется симметрической, она не изменяется притранспонировании, т.е. замене строк столбцами.

Лемма. Пусть матрица А_φ линейного преобразования  в ортонормированной базе является симметрической. Тогда для любых векторов а и b пространства равны скалярные произведения:

(а^φ)b = a (b^φ). (1)

Доказательство проведем для двумерного пространства.

Пусть – ортонормированная база (взаимно перпендикулярные векторы единичной длины), т.е. .

(2)

Тогда ;. Используя свойства 3, 4 скалярного произведения, получаем

(3)

Возьмем два произвольных вектора и.

Так как

то

Принимая во внимание свойство (2) скалярного произведения и равенство (3), убеждаемся в справедливости (1). Лемма доказана.

Теорема 1. Если матрица А_φ линейного преобразования  в некоторой ортонормированной базе является симметрической, то найдется такая ортонормированная база, в которой матрица B_φ преобразования  диагональная.

Доказательство. Ограничимся двумерным случаем. Пусть в ортонормированной базе матрицы А_φ линейного преобразования  имеет вид (2). Найдем характеристический многочлен преобразования :

.

Его дискриминант D=(₁+₂)²-4(₁₂-²)=(₁-₂)²+4². Если =0, то матрица (2) уже имеет диагональный вид. Если же 0, то f() и D0 имеет два различных действительных корня ₁, ₂. Найдем единичные собственные векторы ₁ и ₂ преобразования , относящиеся к собственным значениям ₁ и ₂.

₁^φ = ₁₁, ₂^φ = ₂_2.

1. Оказывается, что векторы 1и2перпендикулярны. В самом деле, применяя лемму, получаем

₁₁₂=(₁^φ)₂=₁(₂^φ)=₂₁₂.

Так как ₁₂, то ₁₂=0. таким образом, ₁, ₂ – ортонормированная база, а матрица преобразования  в этой базе:

.

Теорема доказана.

Замечание.Вместо любого из векторов₁,₂можно взять ему противоположный. Поэтому можно считать, что база₁,₂получается поворотом базывокруг точкиOна некоторый угол.