1.3.6 Фиктивные переменные во множественной регрессии

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т. е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными. В отечественной литературе можно встретить термин «структурные переменные».

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:

,

где — количество потребляемого кофе;— цена.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола: и женского пола:.

Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних и. Вместе с тем сила влияниянаможет быть одинаковой, т. е.. В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Объединив уравненияии введя фиктивные переменные, придем к следующему выражению:,

гдеи– фиктивные переменные, принимающие значения:

В общем уравнении регрессии зависимая переменная рассматривается как функция не только цены , но и пола . Переменная рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая всего два значения: 1 и 0. При этом когда , то и, наоборот, при переменная.

Для лиц мужского пола, когда и , объединенноеуравнение регрессии составит: , а для лиц женскогопола, когда и . Иными словами, различия в потреблении для лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов уравнения регрессии: . Параметр является общим для всей совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.

Следует иметь в виду, что при введении фиктивных переменных и в модель применение МНК для оценивания параметров а₁ и а₂ приведет к вырожденной матрице исходных данных, а следовательно, и к невозможности получения их оценок. Объясняется это тем, что при использовании МНК в данном уравнении появляется свободный член, т. е. уравнение примет вид

Предполагая при параметре А независимую переменную, равную 1, имеем матрицу исходных данных:

В рассматриваемой матрице существует линейная зависимость между первым, вторым и третьим столбцами: первый равен сумме второго и третьего столбцов. Поэтому матрица исходных факторов вырождена. Выходом из создавшегося затруднения может явиться переход к уравнению

или

,

т.е. каждое уравнение включает только одну фиктивную переменную z₁ или z₂.

В рассмотренном примере качественный фактор имел только два состояния, которым и соответствовали обозначения 1 и 0. Если же число градаций качественного признака-фактора превышает два, то в модель вводится несколько фиктивных переменных, число которых должно быть меньше числа качественных градаций. Только при соблюдении этого положения матрица исходных фиктивных переменных не будет линейно зависима и возможна оценка параметров модели.