3.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени .

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

. (3.5)

Т.е. величина есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсонаи коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:.

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, тои, следовательно,. Если автокорреляция остатков отсутствует, тои. Т.е..

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезыисостоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсонаидля заданного числа наблюдений, числа независимых переменных моделии уровня значимости. По этим значениям числовой промежутокразбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностьюосуществляется следующим образом:

–есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностьюпринимается;

–зона неопределенности;

–нет оснований отклонять , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

–зона неопределенности;

–есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностьюпринимается.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

3.5 Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

Набор случайных переменных X(t), где(вещественные числа) называетсястохастическим процессом. Дискретный стохастический процесс определяется как последовательность случайных переменныхX(t), гдеt = t₁, t₂, ..., t_Tили корочеХ₁, Х₂,..., Х_Т...,или простоX_t.

Математическое ожидание E(X_t)может изменяться во времени и представляет собой функцию среднего в зависимости от времени

.

Аналогичным образом дисперсия (X_t)является функцией, также зависящей от времени:

.

В общем случае в каждый момент времени существует определенная дисперсия. Это не то же самое, что изменчивость эмпирических данных по мере развития процесса во времени.

Автоковариация

в общем виде зависит от каждого t₁и t₂.

Конечная реализация x₁, х₂,..., х_тдискретного стохастического процесса ... Х₁, Х₂,... Х_т... называется временным рядом.

Рассмотрим различие между стохастическим процессоми сгенерированным имвременным рядом.

Процессы обозначаются прописными буквами, обозначают временные ряды строчными буквами. Исключениями являются остатки в моделях стохастических процессов, не имеющие никакой самостоятельной практической значимости. Они также обозначаются строчными буквами, например а, и и ε. Строгое разграничение необходимо для корректного вывода свойств временных рядов из свойств стохастических процессов. Позднее при моделировании реальных временных рядов это условие можно будет ослабить или опустить.

Стохастический процесс X_t называется стационарным в сильном смысле, если совместное распределение вероятностей всех переменных точно то же самое, что и для переменных .

Под стационарным процессом в слабом смысле понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными.

Среднее ……………..

Дисперсия …………..

Автоковариация ……,

где (лаг).

Автоковариация как функция длины лага τ

называется автоковариационной функцией. При τ = 0 ее значение равно дисперсии.

Проведя нормировку , получим автокорреляционнуюфункцию стационарного стохастического процесса:

,

где .

Временной ряд х₁, х₂, ..., х_Т, т. е. конкретная реализация стационарного стохастического процесса X_t также называется стационарным.

В практической аналитической работе стационарность временного ряда означает отсутствие:

• тренда;

• систематических изменений дисперсии;

• строго периодичных флуктуаций;

• систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

Экономические временные ряды представляют собой данные наблюдений за экономическими показателями, например, валовым внутренним продуктом, за ряд лет, и такие ряды, как правило, нестационарны.

Графическое представление стационарного ряда