- •Тема 1 Методы и модели регрессионного анализа 7
- •Тема 2. Системы эконометрических уравнений 50
- •Тема 3. Анализ временных рядов 60
- •Предисловие
- •Введение. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования
- •Общие понятия
- •Экономическая модель
- •Эконометрическая модель
- •Элементы эконометрической модели и их свойства
- •Задачи эконометрики
- •Эконометрика и её место в ряду математических и экономических дисциплин
- •Тема 1 Методы и модели регрессионного анализа
- •1.1 Основные понятия регрессионного анализа
- •1.1.1 Спецификация модели
- •1.2 Парная регрессия и корреляция
- •1.2.1 Линейная модель парной регрессии и корреляции
- •Оценка тесноты связи
- •Оценка качества подбора уравнения
- •Проверка статистической значимости эконометрической модели
- •Оценка значимости параметров эконометрической модели
- •1.2.2 Нелинейные модели парной регрессии и корреляции Виды нелинейных уравнений регрессии
- •Линеаризация нелинейных моделей регрессии
- •Оценка тесноты связи нелинейной регрессии
- •Оценка качества нелинейных уравнений регрессии
- •1.3 Множественная регрессия и корреляция
- •Отбор факторов, включаемых в модель множественной регрессии
- •1.3.1 Линейное уравнение множественной регрессии
- •Оценка параметров линейных уравнений регрессии
- •1.3.2 Линейное уравнение множественной регрессии с стандартизированном масштабе
- •1.3.2 Частные уравнения регрессии
- •1.3.3 Свойства оценок параметров эконометрической модели, получаемых при помощи мнк
- •1.3.4 Предпосылки мнк, методы их проверки
- •Обобщенный метод наименьших квадратов (омнк)
- •1.3.5 Проверка существенности факторов и показатели качества регрессии
- •Оценка тесноты связи
- •Проверка статистической значимости эконометрической модели
- •Оценка значимости параметров эконометрической модели
- •1.3.6 Фиктивные переменные во множественной регрессии
- •1.4 Резюме по теме.
- •Вопросы для повторения
- •Тема 2. Системы эконометрических уравнений
- •2.1. Классификация систем эконометрических уравнений
- •2.2 Структурная и приведенная формы модели
- •2.3 Проблема идентификации систем одновременных уравнений
- •2.4. Методы оценки параметров структурной формы модели (систем одновременных уравнений): косвенный метод наименьших квадратов (кмнк) и двухшаговый метод наименьших квадратов (дмнк)
- •2.5. Модель спроса и предложения
- •2.5.1 Структурная и приведённая форма системы
- •2.6. Вопросы для повторения
- •2.7. Резюме по теме
- •Тема 3. Анализ временных рядов
- •3.1. Структура временного ряда
- •3.2. Автокорреляция уровней временного ряда
- •Проверка гипотезы о наличии тренда во временном ряде
- •3.2. Моделирование тенденции временного ряда
- •3.3. Моделирование сезонных колебаний
- •3.3.1 Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов
- •3.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
- •3.5 Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация
- •3.6 Эргодичность
- •3.7 Особые случаи
- •3.8 Нестационарные временные ряды
- •3.9 Метод разностей и интегрируемость
- •3.10 Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов
- •3.10.1 Понятие адаптивной модели
- •3.10.2 Экспоненциальное сглаживание
- •3.10.3 Модели линейного роста
- •3.10.4 Стохастический процесс Тейла и Вейджа
- •3.10.5 Сезонные модели
- •Аддитивная модель сезонных явлений
- •3.10.6 Модели авторегрессии — скользящего среднего (метод Бокса —Дженкинса)
- •3.10.7 Авторегрессионная модель.
- •3.10.8 Модель скользящего среднего.
- •3.11 Специфика изучения взаимосвязей по временным рядам. Исключение сезонных колебаний. Исключение тенденции.
- •3.11.1. Метод отклонений от тренда
- •3.11.2. Метод последовательных разностей
- •3.12 Резюме по теме.
- •3.13 Вопросы для повторения
3.10.2 Экспоненциальное сглаживание
Предположим, что исследуется временной ряд xt.
Выявление и анализ тенденции динамического ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание — один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних.
Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле
(3.7)
где St — значение экспоненциальной средней в моментt;
α — параметр сглаживания,α=const, 0 <α< 1;
β = 1 — α.
Выражение (3.7) можно переписать следующим образом:
(3.8)
Экспоненциальная средняя на момент t здесь выражена как экспоненциальная средняя предшествующего момента плюс доляαразницы текущего наблюдения и экспоненциальной средней прошлого момента.
Если последовательно использовать рекуррентное соотношение (3.7), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через значения временного рядах:
(3.9)
где N — количество членов ряда;
So— некоторая величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (3.7) приt= 1.
Так как β < 1, то при , а сумма коэффициентовТогда.
Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от давности («возраста») наблюдения. Это и объясняет, почему величинаSt названа экспоненциальной средней.
Рассмотрим, ряд, генерированный моделью
где a1 — const;
εt — случайные неавтокоррелированные отклонения, или шум, со средним значением 0 и дисперсией σ2.
Применим к нему процедуру экспоненциального сглаживания (3.7). Тогда
Найдем математическое ожидание
и дисперсию
(3.10)
Так как 0 < α < 1, D(St) < D (xt)=σ2.
Таким образом, экспоненциальная средняя St имеет то же математическое ожидание, что и рядх, но меньшую дисперсию. Как видно из (3.10), при высоком значении α дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии рядах. Чем меньше α, тем в большей степени сокращается дисперсия экспоненциальной средней.
Следовательно, экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней.
И чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда.
После появления работ Р. Брауна экспоненциальная средняя часто используется для краткосрочного прогнозирования. В этом случае предполагается, что ряд генерируется моделью
где . a1,t — варьирующий во времени средний уровень ряда;
εt — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2.
Прогнозная модель имеет вид
где — прогноз, сделанный в моментt на τ единиц времени (шагов) вперед;
—оценка a1,t (знак ^ над величиной здесь и далее будет означать оценку).
Средством оценки единственного параметра модели служит экспоненциальная средняя . Таким образом, все свойства экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В частности, еслиSt-1 рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед, то в выражении (2) величина(xt —St-1) есть погрешность этого прогноза, а новый прогнозSt получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит существо адаптации.
При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить изменения а1,tи в то же время как можно лучше «очистить» ряд от случайных колебаний.
Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением α (см. (3.9)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину α нужно уменьшить.
Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения α составляет задачу оптимизации модели.
Экспоненциальное выравнивание всегда требует предыдущего значения экспоненциальной средней. Когда процесс только начинается, должна быть некоторая величина S0, которая может быть использована в качестве значения, предшествующегоS1. Если есть прошлые данные к моменту начала выравнивания, то в качестве начального значенияSo можно использовать арифметическую среднюю всех имеющихся точек или какой-то их части. Когда для такого оцениванияSo нет данных, требуется предсказание начального уровня ряда.
Предсказание может быть сделано исходя из априорных знаний о процессе или на основе его аналогии с другими процессами. После k шагов вес, придаваемый начальному значению, равен (1 — α)k. Если есть уверенность в справедливости начального значения So, то можно коэффициент α взять малым. Если такой уверенности нет, то параметру α следует дать большое значение, с таким расчетом, чтобы влияние начального значения быстро уменьшилось. Однако большое значение α, как это следует из (3.10), может явиться причиной большой дисперсии колебанийSt. Если требуется подавление этих колебаний, то после достаточного удаления от начального момента времени величину α можно убавить.