3.11 Специфика изучения взаимосвязей по временным рядам. Исключение сезонных колебаний. Исключение тенденции.

Предположим, изучается зависимость между рядами Х_t иY_t.

При моделировании взаимосвязи двух или более временных рядов могут возникнуть следующие проблемы.

1. Искажение показателей тесноты и силы связи:

• если ряды содержат циклические или сезонные колебания одинаковой периодичности, то это приведет к завышению истинных показателей тесноты связи изучаемых временных рядов;

• если только один из рядов содержит циклические или сезонные колебания или периодичность колебаний различна, то это приведет к занижению истинных показателей тесноты связи изучаемых временных рядов.

Проблема «ложной корреляции»:

• если ряды имеют тренды одинаковой направленности, то между уровнями этих рядов всегда будет наблюдаться положительная корреляция, независимо от того, существует причинная связь между этими рядами или нет;

• если ряды имеют тренды разной направленности, то корреляция рядов окажется отрицательной.

Для того, чтобы избавиться от данных проблем, необходимо устранить в уровнях ряда трендовую и сезонную (циклическую) компоненты.

Устранить сезонную компоненту в случае аддитивной модели можно, оценив абсолютные разности где L– число сезонов) и вычтя их из исходных уровней ряда. В случае мультипликативной модели необходимо оценить индексы сезонности –Is_i (i=1;L, гдеL – число сезонов) и разделить исходные уровни ряда на них. Как рассчитать сезонные компоненты, см. в п. 4.9.

Чтобы избавиться от «ложной корреляции», необходимо исключить тенденцию из уровней ряда. Предположим, что по двум временным рядам Х_i иY_i строится уравнение парной регрессии:. Обнаружить «ложную корреляцию» можно, проанализировав остатки в данном уравнении регрессии. Если имеет место автокорреляция остатков, то, следовательно, имеет место и «ложная корреляция», и наоборот.

Для устранения тенденции обычно применяют следующие методы.

3.11.1. Метод отклонений от тренда

При этом вычисляют значения u_xt,u_уt, представляющие собой отклонения уровнейХ_t иY_tот их значений, рассчитанных по уравнениям трендов:и,. Затем измеряют корреляцию между этими отклонениями (и), например, с помощью коэффициента корреляции:

.

Если предполагаемая функция регрессии линейная, то можно построить уравнение регрессии, измеряющее зависимость отклонения u_xот отклоненияu_y = a+ b ∙u_x. Параметры данного уравнения могут быть оценены с помощью МНК по формулам:

.

То есть решение имеет вид: .

Содержательная интерпретация параметра этой модели затруднительна. Так, параметр bпоказывает, настолько в среднем за период отклонилось значениеYот тренда при отклоненииXот своего тренда на 1 единицу измерения.

Однако данное уравнение регрессии можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо определить трендовое значение факторного признака и оценить величину предполагаемого отклонения фактического значенияXот трендового. Далее определяют по уравнению трендаY значение. По уравнению регрессии отклонений от трендов находят величину. Затем находят точечный прогноз фактического значенияпо формуле:.

3.11.2. Метод последовательных разностей

При этом вычисляют разности между текущим и предыдущим уровнями, т.е. величины абсолютных цепных приростов: ∆y_t = Y_t – Y_t-1; ∆х_t = X_t – X_t-1.

Тогда показатель тесноты связи – коэффициент линейной корреляции абсолютных приростов будет выглядеть так:

Уравнение регрессии по абсолютным приростам:

∆y_t =a+b∙∆x_t.

В отличие от уравнения регрессии по отклонениям параметрам данного уравнения (по абсолютным разностям) легко дать интерпретацию. Параметр bпоказывает приростYв среднем при изменении приростаX на 1 единицу измерения. Параметрaхарактеризует приростYпри нулевом приростеX.

Недостатком данного метода является сокращение числа пар наблюдений, т.е. потеря информации.

Разности первого порядка исключают автокорреляцию только в тех рядах динамики, в которых основной тенденцией является прямая линия.

Для рядов, с основной тенденцией близкой к экспоненте, следует рекомендовать исследовать корреляцию цепных коэффициентов (темпов) роста.

Для рядов, с основной тенденцией, близкой к параболе 2-го порядка, следует рекомендовать исследовать корреляцию конечных разностей второго порядка:;.

Если ряды динамики имеют разные типы тенденции, вполне допустимо коррелировать соответствующие разные цепные показатели: например, абсолютные измерения в одном ряду с темпами измерений в другом.