3.10.5 Сезонные модели

В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.

Модели первого типа имеют вид:

где динамика величины a_1,t характеризует тенденцию развития процесса;

f_t ,f_t-1, f_t-l+1- коэффициенты сезонности;

l— количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычноl =12, при квартальных данныхl= 4 и т. п.);

ε_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Модели второго типа записываются как:

где величина a_1,t описывает тенденцию развития процесса;

g_t , g_t-1, g_t-l+1- аддитивные коэффициенты сезонности;

l— количество фаз в полном сезонном цикле;

ε_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем.

Прогнозирование с коэффициентами сезонности

Модель имеет вид:

Как видим, является взвешенной суммой текущей оценки, полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данныхx_t и предыдущей оценки.

В качестве коэффициента сезонности f_tберется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла.

Затем величина , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.

Прогноз следующего значения ряда:

Более общим выражением для прогноза на τ шагов вперед будет:

Величины и могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:

где — начальное значениеа₁;

—начальное значение f в соответствующейi фазе (месяце) цикла (года);

J — наибольшая целая часть.

Следовательно, прогноз является функцией всех прошлых значений фактического ряда, параметров ии начальных условий,,, …,.

Влияние начальных условий на прогноз зависит от величины весов и длины ряда, предшествующего текущему моменту t. Влияниеобычно будет уменьшаться быстрее, чем влияние начальных значений, так как пересматривается на каждом шаге, а только один раз за цикл.

Если эта сезонная модель прогнозирования, структура которой не содержит элементов для отражения какой-либо тенденции роста, применяется для прогнозирования ряда, характеризующегося ярко выраженной тенденцией, то коэффициенты перестают быть простыми коэффициентами сезонности и вскоре вбирают в себя в определенной мере эффект роста.

Полная сезонная модель Уинтерса с линейным ростом имеет вид:

Единственным изменением в выражении для является добавление— наиболее поздней оценки аддитивного фактора роста, характеризующего изменение среднего за полный сезонный цикл уровня процесса за единицу времени (месяц). Выражение для обновления коэффициента сезонности остается тем же, что и раньше. Оценкимодифицируются по аналогичной процедуре экспоненциального сглаживания. Прогноз является здесь функцией прошлых и текущих данных, параметрови первоначальных значений,,. Качество и точность прогнозов зависит от этих факторов.

Оптимальные параметры Уинтерс предлагает находить экспериментальным путем. Критерием сравнения он берет стандартное отклонение ошибки.