Следовательно, приближенное значение функции равно z0 + dz = 5 −0,01 = 4,99 . При этом верхняя граница абсолютной погрешности определяется из равенства:

= ∂∂xz (x0 , y0 ) x + ∂∂yz (x0 , y0 ) y .

В рассмотренном примере = 0,6 0,01 + 0,8 0,02 = 0,006 + 0,016 = 0,022 .

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

	Пусть			функция			w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) имеет	частные производные в точке
M	0	(x0	, x0		,..., x0	,..., x0 ) из ее области определения		D Rn . Будем называть их
		1		2	i		n

частными производными первого порядка. Так как они являются функциями тех же переменных, что и данная функция, то у каждой из них могут существовать частные производные по любому из этих аргументов.

Полученные таким образом частные производные называются частными производными второго порядка.

В частности для функции двух переменных z = f (x, y) можно составить четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

∂		∂z	=	∂2 z
				∂x	2
∂x		∂x

	= z′′2 ;		∂		∂z
							=
	x
			∂y		∂y
			∂		∂z		=
			∂y		∂x

∂

2

z

= z′′2 ;

∂

∂z

∂

2

z

= z′′

=

;

∂y2

y

∂x∂y

xy

∂x

∂y

∂∂y2∂zx = z′yx′ .

Вообще для каждой из этих частных производных второго порядка можно дать и строгое определение.

Определение 1

(x

)−

(x

)

∂z

0

+ x, y

∂z

0

, y

0

∂x

∂x

Если

существует и

конечен

lim

0

,

то он

называется

x

x→0

от z

(x0 , y0 ) и

частной

производной

второго

порядка

по

x

дважды

в

точке

обозначается

∂

2 z

или

z′′2 .

∂x2

x

Аналогично даются строгие определения для остальных частных производных второго порядка. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка, и.т.д.

Для функции w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) частная производная пятого порядка

∂5w

∂2 xi ∂2 x j ∂xn , если она существует, определяется как функция, полученная из данной

путем двукратного дифференцирования по переменным xi и x j , и однократного

дифференцирования по xn . Порядок дифференцирования при этом не имеет значения, так как имеет место теорема, которая в данном курсе приводится без доказательства.

Теорема 1

Если функция w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) имеет как в точке M 0 , так и в некоторой ее

∂2w

окрестности частную производную второго порядка ∂xi ∂x j , причем она непрерывна в

25

∂2w

точке M 0 , то в этой точке существует и частная производная ∂x j ∂xi , совпадающая с

∂2w

частной производной ∂xi ∂x j .

Обобщая теорему на производные более высокого порядка, можно сделать вывод, что при соблюдении указанных условий результат частного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример 1

Вычислить все частные производные второго порядка для функции w = x z2 + cos xy .

Решение

Учитывая результат теоремы, можно установить, что существует шесть различных частных производных второго порядка для данной функции.

Частные производные первого порядка:

∂w

= z 2 −sin

x

1

;

∂w

= sin

x

x

;

∂w

= 2xz .

∂x

y

∂y

y

y2

∂z

y

Частные производные второго порядка:

∂2 w

= −cos

x

1

;

∂2 w

= −cos

x

x2

−sin

x

2x

;

∂2 w

= 2x ;

∂x2

y2

∂y2

y4

∂ z 2

y

y

y

y3

∂2 w

= cos

x

x

+sin

x

1

;

∂2 w

= 2z;

∂2 w

= 0 .

∂x ∂y

y

y3

y

y2

∂x ∂z

∂y ∂z

Определение 2

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

Пусть

функция

дифференцируема

в

точке

M

0

(x0, x0

,..., x0,..., x0 ).

Тогда

в

этой

точке

существует

дифференциал

1

2

i

n

n

dw = ∑

∂w

(x1, x2 ,..., xn ) dxi .

Будем

в

дальнейшем

называть его

дифференциалом

∂x

i=1

i

первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции w в точке M 0 называется дифференциал от ее

первого дифференциала d(dw), который обозначается d 2 w .

Теорема 2

Если задана дифференцируемая функция w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) и x1, x2 ,..., xn - независимые переменные, то имеет место формула

n	∂	2
d 2w = ∑			w		(x1, x2 ,..., xn ) dxi dx j .
	∂x		∂x
i, j=1	i			j
Доказательство

Так как x1, x2 ,..., xn - независимые переменные, то dx1, dx2 ,..., dxn - тоже независимые переменные. Поэтому

26

2

n

∂w

(x1, x2

n

∂w

d

∑

dxi .

∂x

w = d(dw)= d

,..., xn ) dx

= ∑d

∂x

i=1

i

i=1

i

∂w

n

∂

2

w

∂x

= ∑

∂x

∂x

dx j

, то

Поскольку d

i

j=1

i

j

n

∂

2

d 2w =

∑

w

(x1, x2 ,..., xn ) dxi dx j .

∂x

∂x

i, j=1

i

j

В частности, для функции двух переменных z = f (x, y), учитывая независимость частных производных от порядка дифференцирования, справедливо:

d 2 z =	∂2 z	(dx)2	+ 2	∂2 z	dx dy +	∂2 z	(dy)2 .
	∂x2			∂x∂y		∂y2

Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал третьего порядка или третий дифференциал – это дифференциал от второго дифференциала.

Легко показать,	что для функции двух переменных z = f (x, y) формула для третьего
дифференциала имеет вид:
∂3z	(dx)3 +3	∂3z	(dx)2 dy +3	∂3z	dx(dy)2 +	∂3 z	(dy)3 .
d 3z = ∂x3						∂y3
		∂x2∂y		∂x∂y2

Формулы для второго дифференциала функции двух переменных z = f (x, y) удобно записывать в символическом виде:

d 2 z = ∂∂x dx + ∂∂y dy 2 z ,

∂

где под записью ∂x понимается операция взятия частной производной по переменной

∂

x , а под записью ∂y понимается операция взятия частной производной по переменной

y .

В общем случае для дифференциала n - го порядка функции двух переменных z = f (x, y) справедлива формула:

∂

∂

d n z =

dx +

dy n .

∂x

∂y

ЗАМЕЧАНИЕ

Следует помнить, что эти формулы записаны

в

предположении, что

x

и y -

независимые переменные. Если же

z = f (x, y) является сложной функцией, в которой

x и y в свою очередь являются функциями двух переменных, то

∂z

∂z

∂z

∂z

∂z

∂z

∂z

∂z

d 2 z = d

dx +

dy

= d

dx

+ d

dy = d

dx +

d 2 x

+ d

dy +

d 2 y =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂x

∂y

∂y

27

=

∂2 z

(dx)2

+

∂2 z

dy dx +

∂z

d 2 x +

∂2 z

(dy)2 +

∂2 z

dx dy +

∂z

d 2 y =

∂x2

∂y ∂x

∂x

∂y2

∂x ∂y

∂x

∂2 z

2

∂z

2

∂2 z

∂2 z

2

∂z

2

=

∂x2 (dx)

+

∂x d

x + 2

dx dy +

∂y2

(dy)

+

∂x d

y .

∂x∂y

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Сравнивая формулы для дифференциала второго порядка в случае, когда что x и y -

независимые переменные, и когда они в свою очередь являются функциями двух переменных, можно сделать вывод, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

ЗАМЕЧАНИЕ 3

При вычислении дифференциалов высших порядков иногда удобно не пользоваться полученными формулами, а вычислять дифференциалы, проводя непосредственное

дифференцирование, учитывая, что d n w = d (d n−1w)и d n xi = 0 при условии n ≥ 2 ,

если xi - независимая переменная.

Пример 2

Вычислите d 3 z , если z = cos(x −5y).

Решение

По формуле для дифференциала суперпозиции двух функций первый дифференциал можно записать в виде

dz = −sin(x −5 y) (dx −5 dy).

Поскольку выражение dx −5dy не зависит от переменных x и y , то второй дифференциал имеет вид

d 2 z = −cos(x −5 y) (dx −5dy)2 .

Аналогично вычисляется третий дифференциал

d 3 z = sin(x −5 y) (dx −5dy)3 .

Пример 3

Вычислите d 2 w , если w = 3xyz .

Решение

В разделе 2.4 был вычислен dw = 3xyz ln 3 (yz dx + xz dy + xy dz). Тогда

d 2 w = ln 3 (d (3xyz ) (yz dx + xz dy + xy dz)+3xyz d(yz dx + xz dy + xy dz))

d 2 w = 3xyz ln 2 3 (yz dx + xz dy + xy dz)2 +3xyz ln 3 ((dy z + y dz) dx + (dx z + x dz) dy +

+ (dx y + x dy) dz).

Упрощая полученное выражение, запишем

d 2 w = 3xyz ln 2 3 (y2 z 2 (dx)2 + x2 z 2 (dy)2 + x2 y 2(dz)2 )+

+3xyz 2 ln 3 (1 + xyz ln 3) (z dx dy + x dy dz + y dx dz).

28