du = −

xu + yw

dx −

yu + xw

dy ,

dw =

− yu + xw dx +

xu + yw

dy .

u 2 + w2

u 2 + w2

u 2 + w2

u 2 + w2

Вычислим вторые дифференциалы в системе (1)

2dx2 + 2dy2 + 2du2 − 2dw2 + 2u d 2u − 2w

d 2 w = 0

, или

d 2u + du dw +u d 2 w + dw du + dx dy + dy dx =

w

0

u d 2u − w d 2 w = −dx2 − dy2 − du2

+ dw2

.

w d 2u +u d 2 w = −2du dw − 2dx dy

Решая эту

систему

относительно

d 2u , получим

выражение для второго

дифференциала

u(dx2 + dy2 +du2 −dw2 )+2w(du dw +dx dy)

d

2

u = −

.

u2 + w2

Окончательно в это равенство нужно подставить выражения для дифференциалов du и

dw .

6.Экстремум функции нескольких переменных

6.1.Формула Тейлора для функции n переменных

Если функция w = f (x1, x2 ,..., xn ) n раз дифференцируема в окрестности точки

M0 (x10 , x20 ,..., xn0 ), то в некоторой окрестности Uδ(M 0 ) эту функцию можно представить

ввиде

0

0

0

df (x10 ,x20 ,...,xn0 )

d 2 f (x10 ,x20 ,...,xn0 )

f (x1, x2 ,..., xn )= f (x1

, x2 ,..., xn )+

+

+

(n+1)

1!

2!

d

n

f

0

0

0

d

~ ~

~

... +

(x1

,x2

,...,xn )

+

(x1,x2

,...,xn )

,

n!

(n+1)!

где

0

~

0

~

< x2

0

~

dxi

в выражениях для

x1 < x1 < x1 ,

x2

< x2

,…., xn < xn < xn ; а

дифференциалов d n f (x10 , x20 ,..., xn0 )полагаются равными xi − xi0 .

Эта формула называется формулой Тейлора для функции

w = f (x1, x2 ,..., xn ) в

точке

M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ).

Если

x10 = x20 = ... = xn0 = 0 ,

то

формула называется

формулой Маклорена.

Если

dxi

= xi

− xi0

бесконечно малые,

то последний

член формулы Тейлора

(n+1)

~ ~

~

d

(x1,x2

,...,xn )

является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из

(n+1)!

бесконечно малых dxi .

6.2.Экстремум функции двух переменных

Определение 1

Пусть функция f (x, y) определена в области D R2 , а M 0 (x0 , y0 ) - внутренняя точка этой области. Точка M 0 называется точкой минимума функции f (x, y), если

Uδ(M 0 ): M (x, y) Uδ(M 0 ) f (x, y)≥ f (x0 , y0 ).

33

Определение 2

Пусть функция f (x, y) определена в области D R2 , а M 0 (x0 , y0 ) - внутренняя точка этой области. Точка M 0 называется точкой максимума функции f (x, y), если

Uδ(M 0 ): M (x, y) Uδ(M 0 ) f (x, y)≤ f (x0 , y0 ).

Теорема 1

Если функция f (x, y) дифференцируема в окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) и имеет в

	∂f	(x0	, y0 )= 0
	∂x
этой точке экстремум (максимум или минимум), то			.
	∂f	(x0 , y0 )= 0
∂y

Доказательство

Если рассмотреть функцию одной переменной f (x, y0 ), то она имеет экстремум в точке x0 . По необходимому условию экстремума для функции одной переменной ∂∂fx (x0 , y0 )= 0 . Аналогично доказывается, что ∂∂fy (x0 , y0 )= 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ

Доказанная теорема называется необходимым условием экстремума функции двух переменных. Условие равенства нулю частных производных в некоторой точке не является достаточным условием существования экстремума в этой точке.

Следствие

Если хотя бы одна из частных производных ∂∂fx (x0 , y0 )≠ 0 или ∂∂fy (x0 , y0 )≠ 0 , то в точке M 0 (x0 , y0 ) нет экстремума.

Значит, экстремум следует искать в тех точках, в которых обе частные производные равны нулю. Так же как и для функции одной переменной экстремум может быть и в точках, где функция не является дифференцируемой. Такие точки в дальнейшем будем называть подозрительными на экстремум или критическими. Среди критических точек особо выделяются стационарные точки.

Определение

Точка M 0 (x0 , y0 ) называется стационарной точкой функции f (x, y), если f (x, y)

	∂f	(x0	, y0 )= 0	df (x				)= 0 .
	∂x					, y
дифференцируема в этой точке и			, или		0		0
	∂f	(x0 , y0 )= 0
∂y

Теорема2

Если M 0 (x0 , y0 ) - стационарная точка дважды дифференцируемой функции f (x, y)

и если в некоторой окрестности этой точки	d 2 f (x0 , y0 ) сохраняет знак, то функция в
точке M 0 имеет экстремум. При этом	если d 2 f (x0 , y0 )> 0 , то этот экстремум

минимум. Если d 2 f (x0 , y0 )< 0 , то это максимум.

Доказательство

Представим функцию f (x, y) в окрестности точки M 0 (x0 , y0 )

формулой Тейлора до

df (x , y

)

d

2

f (x , y

)

d

3

~ ~

f (x, y)= f (x0 , y0 )+

0

+

+

f (x , y )

членов второго порядка:

0

0

0

.

С

1!

2!

3!

точностью до бесконечно малых более высокого

порядка,

чем (dx)3 = (x − x0 )3

и

34

(dy)3 = (y − y0 )3 ,

учитывая,

что в

стационарной

точке

df (x0 , y0 )= 0 ,

формулу

Тейлора можно записать в виде

d

2

f (x0 , y0 )

d

3

f

~ ~

~

~

f (x, y)=

f (x0 , y0 )+

(x , y )

+

, где x0 < x

< x, y0 < y < y .

2!

3!

Из

формулы дифференциала 3

-

го

порядка

ясно, что при

достаточно малых

x − x0 , y − y0

f (x, y)≈ f (x0 , y0 )+

d

2 f (x

, y

)

0

0

. Из последнего соотношения ясно,

что

2!

если d 2 f (x0 , y0 )> 0 ,

то в некоторой окрестности Uδ(M 0 )

выполняется неравенство

f (x, y)≥ f (x0 , y0 ),

что

соответствует

определению

минимума.

Если

же

d 2 f (x0 , y0 )< 0 ,

то

в

некоторой

окрестности

Uδ(M 0 )

имеем

неравенство

f (x, y)≤ f (x0 , y0 ), из которого следует, что в точке M 0 максимум.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если d 2 f (x0 , y0 )

меняет знак в окрестности точки M 0 , то это еще не означает, что в

этой точке нет экстремума.

Пример 1

Функция z = x4 + y2 − 4x

имеет в точке

(1,0) минимум.

Это следует из того,

что

∂z

= 4x3 − 4

и единственная стационарная точка (1,0). Частные производные второго

∂z

∂x

= 2 y

∂y

порядка

∂2 z =12x

2 , ∂2 z

= 2 ,

∂2 z

= 0 ;

∂2 z

(1,0)

=12 ,

∂2 z (1,0)

= 2 ,

∂2 z

(1,0)

= 0 .

∂x∂y

∂x2

∂x∂y

∂x2

∂y2

∂y2

Тогда

d 2 z(1,0)=12 (dx)2 + 2 (dy)2 ≥ 0 .

Теорема 3

Если

M 0 (x0 , y0 )

-

стационарная

точка

дважды

дифференцируемой

функции

z = f (x, y) и если

A =

∂2 z (x0 , y0 ),

C =

∂2 z

(x0 , y0 ),

B =

∂2 z (x0 , y0 ), то функция

∂x2

∂y2

∂y2

имеет экстремум, если

AC − B2 > 0 и не имеет экстремума, если

AC − B2 < 0 .

При

этом экстремум - максимум, если A < 0 и минимум, если A > 0 .

Доказательство

В теореме 2 доказаны достаточные условия экстремума: если d 2 z(x0 , y0 )≥ 0 , то в

точке M 0 минимум; если d 2 z(x0 , y0 )≤ 0 , то в точке M 0 максимум. Рассмотрим

d 2 z(x0 , y0 )=

∂2 z (x0 , y0 ) (dx)2 + 2

∂2 z

(x0 , y0 )

dx dy +

∂2 z

(x0 , y0 ) (dy)2 , или

∂x∂y

∂y2

∂x2

d 2 z(x0 , y0 )= A(dx)2 + 2 B dx dy +C (dy)2 .

35