Решение

∂w

= 4x3 = 0

∂x

∂w

= 2 y = 0

, из которой видно, что

Стационарные точки находим из системы

∂y

∂w

= 2z − 2 = 0

∂z

единственной стационарной точкой является точка M 0 (0,0,1). Вычислим все частные

производные второго порядка:

∂2 w

=12x

2

,

∂2 w

= 2 ,

∂2 w

= 2 ,

∂x2

∂y2

∂z 2

∂2 w = ∂2 w = ∂2 w = 0 . ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z

Тогда второй дифференциал в стационарной точке равен:

d 2 w =12x2 (dx)2 + 2 (dy)2 + 2 (dz)2 + 2 0 dx dy + 2 0 dx dz + 2 0 dy dz = 2 (6 (dx)2 + (dy)2 )≥ 0 .

Следовательно, точка M 0 - точка минимума.

6.4. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных

Теорема

Непрерывная функция w = f (x1 , x2 ,..., xn ), заданная на ограниченном и замкнутом множестве, принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться в точках экстремума и на границе области, поэтому для их отыскания поступают следующим образом.

•Определяют стационарные точки функции и вычисляют значения функции в тех стационарных точках, которые содержатся внутри заданного множества.

•Вычисленные значения функции сравнивают между собой и со значениями функции на границе области. Среди них находят наибольшее и наименьшее.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = sin x +sin y −sin(x + y) в области, ограниченной координатными осями и прямой x + y = 2π.

2π

2π

Рис.9.

Решение

Стационарные точки

	∂z		= cos x −cos(x + y)= 0
		∂x	.
		∂z
			= cos y −cos(x + y)= 0
		∂y

функции определяются из системы:

Вычитая из первого уравнения второе, получим

37

cos x = cos y , или y = ±x + 2πk . Поскольку

для

заданной

области

0 ≤ x ≤ 2π , то

достаточно взять

y = x . Подставим это в первое уравнение.

Получим

cos x = cos 2x ,

откуда

x = 2πk

или 3x = 2πk .

Соотношение

x = 2πk дает

точки x = 0

и x = 2π,

лежащие на границе. Из соотношения 3x = 2πk

следует, что только одна стационарная

точка

(

2π

,

2π

)

лежит

внутри

области (рис.9).

Значение

функции

в

этой точке

3

3

z = 2 sin

2π −sin 4π =

3 +

3

=

3 3

.

2

1

3

3

2

Граница области задается уравнениями:

1.x = 0, 0 ≤ y ≤ 2π. На этой части границы z = sin y −sin y = 0 .

2.y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π. На этой части границы z = sin x −sin x = 0 .

3. x + y = 2π или y = 2π− x , 0 ≤ x ≤ 2π . На этой части границы z = sin x +sin(2π− x)+sin 2π = 0

Следовательно, наибольшее значение функции равно z1 = 3 23 , а наименьшее z2 = 0 .

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

1.Как определяется прямое произведение множеств?

2.Как определяется расстояние между точками в n - мерном пространстве?

3.Какое пространство называется метрическим?

4.Что такое окрестность и проколотая окрестность точки в n - мерном метрическом пространстве?

5.Какая точка множества называется внутренней?

6.Какая точка множества называется граничной?

7.Какая точка множества называется предельной?

8.Какое множество называется открытым?

9.Какое множество называется замкнутым?

10.Как определяется функция n переменных?

11.Что называется пределом функции n переменных в заданной точке?

12.Какая функция n переменных называется непрерывной в точке? На множестве?

13.Как определяются частные производные функции двух переменных?

14.Каков геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

15.Какая функция n переменных называется дифференцируемой в точке?

16.Какое условие является необходимым для дифференцируемости функции n переменных в некоторой точке?

17.Какое условие является достаточным для дифференцируемости функции n переменных в некоторой точке?

18.Что такое дифференциал функции n переменных? Как записывается его формула?

19.В чем состоит инвариантность формулы первого дифференциала?

20.Каков геометрический смысл дифференциала функции двух переменных?

21.Какой вид имеет уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 )?

22. Какой вид имеет уравнение нормали к поверхности z = f (x, y) в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 )?

23. Как определяются производные второго порядка функции двух переменных?

24. Какому условию удовлетворяют смешанные производные функции нескольких переменных?

25. Как выглядит формула второго и третьего дифференциала функции двух переменных?

26. Как выглядит формула производной сложной функции двух и более переменных? 27. Как выглядит формула полной производной функции нескольких переменных?

28. По каким формулам вычисляются частные производные функции двух переменных z(x, y), заданной неявно?

38