x = x0 +

x , x

2

= x0

+ x

2

, ..., x

n

= x0 +

x

n

,

то

ясно,

что

1

1

1

2

n

f (M )− f (M 0 ) = w ,

M → M 0 xi

→ 0,

i =1,2,..., n .

Так

как

то

lim

w = 0, i =1,2,..., n .

xi →0

Определение 5

Функция

w = f (x , x

2

,..., x

n

), заданная на множестве D Rn

и непрерывная в

1

каждой точке M 0 D , называется непрерывной на множестве D .

Определение 6

Точка, в которой не выполнено условие непрерывности, называется точкой разрыва функции.

ЗАМЕЧАНИЕ

Множества точек разрыва функции нескольких переменных может иметь самую разнообразную структуру. В частности, они могут образовывать линии разрыва и поверхности разрыва.

Пример 5
Прямая		y = x		является линией разрыва для функции			w =	x + y	. Коническая
								x − y
поверхность		z 2		= x2 + y2 является	поверхностью		разрыва для			функции
w =	3x
			.
	x2 + y2 − z 2
Для непрерывных функций n переменных справедливы следующие теоремы.
Теорема 2		w = f (M ), непрерывная на
Функция					замкнутом и	ограниченном				множестве

D Rn , ограничена на этом множестве и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 3

Пусть

функция

w = f (M )

непрерывна в замкнутом и ограниченном множестве

D Rn

и пусть p ≤ f (M ) ≤ P для всех точек M D . Если для числа c справедливо

неравенство p ≤ c ≤ P , то существует точка M0 D , такая, что

f (M0 )= c .

2.

Дифференцирование функций n переменных

2.1.

Частные производные функции n переменных

Определение 1

Пусть функция w = f (x , x

2

,..., x

,..., x

n

)

определена на множестве D Rn . Пусть

1

i

точки

M0 (x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0 )

и

Mi (x10 , x20 ,..., xi0 +

xi ,..., xn0 )

принадлежат

этому

множеству. Частным приращением функции

f (x1, x2,...xi ,..., xn ) по переменной xi

называется число, равное

разности

значений функции

в

этих

точках, то

есть

f (M

i

)− f (M

0

)

или f (x

0, x0,..., x0

+

x

,..., xo )− f (x0

, x0,..., x0

,..., xo ). Частное

1

2

i

i

n

1

2

i

n

приращение обозначается

x w или

x

f .

i

i

В частности, для функции двух переменных z = f (x, y) частные приращения в точке

M 0 (x0 , y0 ) по переменным x и y равны:

x z = f (x0 + x, y0 )− f (x0 , y0 ),

12

y z = f (x0 , y0 + y)− f (x0 , y0 ).

Определение 2

Пусть

функция

w = f (x , x

2

,..., x

,..., x

n

) определена на

множестве

D Rn

и

1

i

пусть M

0

(x0

, x0,..., x0

,..., x0 ) D .

Если

существует и конечен lim

xi w

,

то

он

1

2

i

n

xi →0

xi

называется частной производной функции

w по переменной x

i

и обозначается

∂w

или

∂xi

∂ f ∂xi .

В частности, для функции двух переменных z = f (x, y) частные производные по x

и y определяются как пределы:
	∂z	= lim		f (x0 + x, y0 )− f (x0 , y0 )		,
	∂x			x
		x→0
	∂z	= lim		f (x0 , y0 + y)− f (x0 , y0 )		,
	∂y			y
		y→0

если они существуют и конечны.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Ясно, что частные производные функции n переменных в свою очередь являются функциями этих же переменных.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Из определения частных производных следует, что при вычислении частной производной функции w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) по переменной xi , следует рассматривать ее как

функцию одной переменной xi , а все остальные переменные считать постоянными.

ЗАМЕЧАНИЕ 3

Из определения частных производных и замечания 2, можно сделать вывод, что при частном дифференцировании функции n переменных справедливы все правила дифференцирования, а также таблица производных, полученные для функции одной переменной.

Пример 1

Вычислите частные производные функции двух переменных z = x y .

Решение

Заданная функция является степенной относительно переменной x и показательной относительно переменной y . Поэтому

∂z	= yx	y−1	;	∂z	= x	y	ln x .
∂x				∂y

Пример 2

Вычислите частные производные функции трех переменных w = xy + yz + x2 yz .

Решение

∂w

=

1

+ 2xyz ,

∂w

= −

x

+

1

+ x2 z ,

∂w

= −

y

+ x2 y .

∂x

y

∂y

y2

z

∂z

z 2

13

Пример 3

Вычислить частные производные для функции двух переменных

1− xy .

x2 + y2

Решение

Используя правило дифференцирования частного, вычислим

1

− y x

2

+ y

2

−(1 − xy)

x

∂z

− y x2 + y2 −(1 − xy)

1

(x2 + y2 )−

2

2x

∂z

x2 +y2

=

2

=

∂x

, или

∂x

.

x2 + y2

x2 + y2

Поскольку переменные x и y входят в

аналитическое

выражение

функции

симметрично, то частную производную

по y можно получить,

заменяя в

частной

производной

∂z

x на y , а y на x . То есть

∂x

∂z =

− x x2 + y2 −(1 − xy)

y

x2 +y2

.

x2 + y2

∂y

Следует заметить, что частным производным функции двух переменных можно дать

наглядный геометрический смысл.

Теорема 1

Путь функция двух переменных z = f (x,

y) определена на множестве

D R2 и

точка M 0(x0, y0 ) D . Частная производная

∂z

(M0 )

равна tg α , где α -

угол между

∂y

z = f (x, y)

касательной, проведенной к пространственной кривой,

,

заданной системой

x = x

0

в точке с координатами x0,

y0, f (x0, y0 ) и осью Oy .

Доказательство

При вычислении частной производной

∂z

(M0 ) переменная x сохраняет постоянное

∂y

значение x = x0 . Функция

z = f (x,

y0 )

геометрически задает линию пересечения

поверхности z = f (x, y) с плоскостью

x = x0 . Из геометрического смысла производной

функции одной переменной следует, что

∂z

(M0 ) равняется угловому коэффициенту

∂y

касательной к этой кривой в точке с ординатой y0 или tg α , где α - угол, который эта касательная составляет с осью Oy (рис.7).

	z
x0	y 0	y
	α
x
	Рис. 7.

Справедлива аналогичная теорема о геометрическом смысле частной производной

∂∂xz (M0 ).

14