Определение 6

Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.

Пример 2
Для	множества точек M (x, y, z) пространства R3 , для которых справедливо:
0 ≤ x	≤ 1
	≤ 1, и которое геометрически в прямоугольной системе координат изображается
0 ≤ y
	≤ 1
0 ≤ z
кубом (рис.3), начало координат O(0,0,0) является граничной и предельной точкой, а
точка P(0,5; 0,5; 0,5)- внутренней и предельной								.

		Рис.3.			Рис.4.
Пример 3
Пусть множество D R2			является объединением множества пар чисел (x, y), для
которых x2 + y2 <1 , и точки			M (2,0). Все точки этого множества					кроме	точки	M -
внутренние и	предельные. Точки			(x, y), для которых		x2 + y2		= 1- граничные и
предельные (рис.4). Точка M не является ни внутренней, ни предельной, ни граничной.
Определение 7
Множество	D Rn	называется открытым, или связной областью, если все его
точки - внутренние.
Определение 8
Множество	D Rn	называется замкнутым,			если	оно	содержит		все	свои
предельные точки.
Пример 4		E = {(x, y): x2 + y2 < 1}
Множество	E R2 :				является		открытым.		Множество
D R2 : D = {(x, y): x2 + y2 ≤ 1}является замкнутым.
ЗАМЕЧАНИЕ
Не следует понимать,			что	любое множество	открыто или замкнуто.				Множество

{(x, y): x2 + y2 <1} {(2,2)}, согласно определению, не является ни тем, ни другим. Кроме того, можно указать множества, которые и замкнуты и открыты одновременно. Например, множество вещественных чисел R и замкнуто и открыто одновременно. Если

его не рассматривать как подмножество R2 , то оно открыто. Если считать R R2, то оно замкнуто.

1.3. Функции n переменных. Предел и непрерывность функции n переменных

Определение 1

Функцией n переменных называется отображение некоторого множества D Rn во множество вещественных чисел R . Иначе говоря, функция - это правило, по которому

8

M (x , x	2	,..., x		n	) Rn ставится в соответствие вещественное число				w . Это правило
1
(соответствие) обозначают: w = f (x1, x2,..., xn ) или w = f (M ).
Множество				D называется		областью определения функции,			а множество
E = {w R : w = f (M ), M D } - областью значений функции w = f (M ).
ЗАМЕЧАНИЕ
Если			D R2 , то w = f			(x , x	2	) - функция двух переменных. Обычно для функции
						1

двух переменных используют обозначение z = f (x, y).

В трехмерном евклидовом пространстве с введенной декартовой системой координат функция z = f (x, y) задает некоторую поверхность. Например, функция z = x2 + y2 задает параболоид вращения (рис.5).

z

y

x

Рис.5.

Пример 1

Найдите область определения и область значений функции двух переменных z = 4 − x2 − y2 .

Решение

Область определения заданной функции находится из условия 4 − x2 − y2 ≥ 0, или

x2 + y2

≤ 4. Из последнего неравенства следует, что область определения D R2 -

это внутренность круга, ограниченного окружностью x2 + y2 = 4.

Область значений функции найдем, записывая ее аналитическое выражение в виде:

2

= 4 − x

2

− y

2

2

+ y

2

+ z

2

= 4 . Следовательно, функция задает верхнюю

z

, или x

z ≥ 0

z ≥ 0

половину сферы с центром в начале координат и радиусом 2 (рис.6). Из рисунка 6 видно, что 0 ≤ z ≤ 2, то есть областью значений функции является множество E = [0, 2].

z
2
2	y
2
x
Рис.6.

9

Определение 2

Пусть

на

множестве D Rn задана функция

w = f (x , x

2

,..., x

n

) и

пусть

(x0, x0,..., x0 ) - предельная точка множества

1

M

0

D .

Число A называют пределом

1

2

n

функции w = f (x1, x2,..., xn ) в

точке M 0 и записывают

lim

f (x1, x2,..., xn ) = A или

lim

f (M ) = A ,

x →x0

M →M0

i

i

если для любой ε

-

окрестности точки

A - Uε(A)

найдется δ

-

окрестность точки

Ì

0

- U

(M

0

), для которой справедливо:

если точка M

(x , x ,..., x ) D ∩U&(M

0

), то

f (x1, x2 ,..., xn ) Uε(A).

1 2

n

значение функции в этой точке

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Учитывая определение окрестностей в пространстве Rn , определение предела для функции нескольких переменных можно записать в следующем виде:

Пусть функция f (M ) задана на множестве

D Rn и M 0 D -

предельная точка

D .

lim f (M ) = A ,

если

ε > 0

δ > 0:

M D :

M →M0

0 < ρ(M0 , M )< δ

f (M )− A

< ε.

Пример 2

Задана функция двух переменных

f (x, y) = x sin

1

+ y cos

1

при

x ≠ 0 и y ≠ 0.

y

x

Покажем, пользуясь определением, что

lim f (x, y) = 0. В самом деле, поскольку

x→0

y →0

f (x, y)

x

1

+

y

cos

1

x

y

≤

sin

≤

+

,

x

y

ε

то для произвольного числа

ε > 0

можно выбрать

δ =

. Тогда для любой точки

2

M (x, y) U&δ(O) выполняется

x

+

y

<

ε

+

ε

= ε, откуда следует, что

f (x, y)

< ε .

2

2

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Все теоремы о пределах для функции одной переменной справедливы и для функций многих переменных.

ЗАМЕЧАНИЕ 3

Из определения предела и замечания 1 следует, что для того, чтобы функция f (M )

имела предел в	точке	M 0 ,	необходимо	и достаточно, чтобы	для	любой
последовательности	точек	M1, M 2,..., M n ,		имеющей пределом	точку	M 0 ,
существовал предел	lim	f (M n )	и был одинаковым для всех последовательностей
	n→∞

M1, M 2,..., M n .

10

	Пример 3
	Функция f (x, y) =	x2 y	не имеет предела в точке O(0,0) - начале координат.
		x4 + y2

Если задать последовательности точек, стремящихся к началу координат по прямым

x = mt	, то
y = nt
	lim	m2nt 3	= lim	m2nt		= 0.
					+ n2
	t →0 m4t 4 + n2t 2		t →0 m4t 2

Если же рассмотреть последовательность точек, сходящуюся к началу координат по

x = t

параболе 2 , то

y = t

lim

t 4

=

1

.

t →0 t 4 + t 4

2

Пример 4

Пусть задана

функция f (x, y) =

exy

− cos xy

. Предел

этой функции в

начале

3xy

координат равен

1

. Это следует из того, что можно сделать замену переменных xy = t и

3

t .

перейти

к

пределу

функции

одной

переменной

exy

−cos xy

et −cos t

(et −1)+ (1 −cos t)

= lim

t +

1

t 2

= 1 .

lim

= lim

= lim

2

3xy

3t

3t

x→0

t→0

t→0

3t

t→0

3

y→0

Определение 3

Функция w = f (x1, x2,..., xn ), определенная на множестве D Rn , называется

непрерывной в точке M 0(x10, x20,..., xn0 ) D , если в этой точке существует конечный

предел, равный значению функции в этой точке, то есть lim f (M ) = f (M 0 ).

M →M0

Определение 4

Пусть

на

множестве

D Rn

задана функция

w = f (x , x

2

,..., x

n

)

и

пусть

(x0, x0,..., x

0 ) D

1

M

0

.

Пусть

числа

x ,

x

2

,..., x

n

таковы,

что

точка

1

2

n

) D .

1

M (x0

+

x , x0

+ x

2

,..., x

0

+

x

n

Полным

приращением

функции

1

1

2

n

w = f (M )− f (M 0 ).

w = f (x1, x2,..., xn ) в точке M 0 называется число

Теорема 1

w = f (x1, x2,..., xn ), заданная на множестве

Для того чтобы функция

D ,

была

непрерывна

в

точке

M

0

(x0

, x0

,..., x0 ) D

необходимо

и достаточно,

чтобы

1

2

n

lim

w = 0,

i =1,2,...n .

xi

→0

Доказательство

w = f (x1, x2,..., xn )

Из того, что функция

непрерывна в точке

M 0

следует, что

существует конечный

lim

f (M ) = f (M 0 ).

Тогда

lim (f (M )− f (M 0 ))= 0 .

Если

M →M0

M →M0

координаты

точки

M (x1, x2,..., xn )

представить

в

виде

11