1.Функции нескольких переменных

1.1.Прямое произведение множеств. n - мерное пространство Rn .

Определение 1
Пусть заданы два множества X и Y . Прямым произведением	X ×Y этих множеств
называется множество всех упорядоченных пар (x, y), где x X	и y Y .

ЗАМЕЧАНИЕ

Упорядоченность пары (x, y) следует понимать в том смысле, что (x, y) ≠ (y, x).

Пример 1

Если заданы множества X = {1,2,3} и Y = {p, q}, то их прямым произведением является следующее множество

X ×Y = {(1, p); (1, q); (2, p); (2, q); (3, p); (3, q)}.

Пример 2

Если R - множество всех вещественных чисел, то прямое произведение R × R или

пространство R2 - это множество всех упорядоченных пар вещественных чисел. Если использовать метод координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие

между элементами (x, y) R2 и точками M (x, y) плоскости с выбранной на ней системой координат.

Пример 3

R × R × R или пространство R3 - это множество всех упорядоченных троек вещественных чисел. Метод координат позволяет установить взаимно однозначное

соответствие между элементами (x, y, z) R3 и точками M (x, y, z) трехмерного Евклидова пространства с выбранной в нем декартовой системой координат.

Определение 2

Прямое произведение R × R ×... × R , то есть множество всех упорядоченных n раз

наборов (x1, x2,..., xn ) из n вещественных чисел называется n - мерным пространством и обозначается: Rn . Элементы (x1, x2,...xn ) Rn называются точками пространства

Rn и обозначаются

M (x , x

2

,..., x

n

).

Вещественные

числа

x , x

2

,...x

n

называются

1

1

координатами точки M .

Определение 3

(x1, x1 ,..., x1 )и M

(x2

2 )пространства Rn

Расстоянием между точками M

1

2

, x2

,..., x

1

2

n

1

2

n

называется число, ρ(M1, M 2 ), которое определяется по формуле:

ρ(M

1

, M

2

) =

(x1

− x2 )2

+ (x1

− x2 )2

+ ... + (x1

− x2 )2 .

1

1

2

2

n

n

Теорема

Расстояние ρ(M1, M 2 )

между

точками

M1

и

M 2

из

пространства Rn

удовлетворяет следующим соотношениям:

a)ρ(M1, M 2 ) ≥ 0.

b)ρ(M1, M 2 ) = 0 M1 = M 2 .

c)ρ(M1, M 2 ) = ρ(M 2, M1).

d)ρ(M1, M 2 ) ≤ ρ(M1, M 3)+ ρ(M 3, M 2 ).

6