Теорема 2

Пусть функция двух переменных z = f (x, y) определена на множестве D R2 и

точка M 0(x0, y0 ) D . Частная производная	∂z	(M0 )= tg α, где α
	∂x

касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной системой

в точке с координатами x0, y0, f (x0, y0 ) и осью Ox .

- угол между

z = f (x, y)
	y = y	,
		0

Пример 4

2

2

x

+ y

в точке M 0(1,1)

с осью

Какой угол составляет касательная к кривой z =

x = 1

Oy ?

Решение

Если

α

-

искомый

угол,

то

tg α =

∂z

(1,1).

Определим

∂y

∂z

1

−

1

y

1

=

(x2 + y2 ) 2

2y =

и

вычислим

в

точке

M 0 .

tg α =

,

∂y

2

x2 + y2

2

следовательно, искомый угол α = arctg

1

.

2

2.2.

Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости

Определение 1

Функция

w = f (x1, x2 ,..., xn )

называется

дифференцируемой

в

точке

M

0

(x0

, x0

,..., x0 ) D Rn , где D -

область определения функции,

если ее полное

1

2

n

n

+ θ(ρ), где Ai -

приращение

w в этой точке можно представить в виде:

w = ∑Ai

xi

(x0

i=1

0 )

числа,

которые зависят только от координат точки

M

0

, x0,..., x

и не зависят от

θ(ρ)

1

2

n

xi ,

а

есть бесконечно малая более высокого порядка,

чем бесконечно малая

n

ρ = ∑( xi )2 .

i =1

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Заметим, что согласно определению полное приращение w дифференцируемой n

функции представимо в виде двух частей. Первая часть - ∑Ai xi является линейной i =1

относительно приращений xi . а вторая - θ(ρ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждое приращение xi .

ЗАМЕЧАНИЕ 2

В отличие от функции одной переменной для функции многих переменных нельзя сформулировать условие, которое является одновременно необходимым и достаточным условием дифференцируемости.

15

Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости)

Если функция n переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные по всем переменным.

Доказательство

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

Пусть

функция

дифференцируема

в

точке

M

0

(x0

, x0

,..., x0

,..., x

0 ) из области определения D Rn . По определению ее полное

1

2

i

n

(x0

)− f (x0, x

0,..., xo )

приращение

w = f

+

x , x0

+

x

2

,..., x

0 +

x

n

можно

1

1

2

n

1

2

n

представить в виде:

n

+ θ(ρ)

w = ∑Ai

xi

(1)

i=1

Из последнего равенства следует:

i = 1,2,..., n . Это ясно из того, что ρ-

1.

Приращения

w → 0 при всех

xi → 0,

бесконечно малая при

xi → 0,

i = 1,2,..., n , а поскольку Ai

- некоторые числа, то и

n

∑Ai

xi → 0 при

xi → 0, i = 1,2,..., n .

i =1

2.

Если положить

x2

=

x3 = ... =

xn = 0 , то равенство (1)

можно записать в

+ θ(

x )

x

w

θ(

x )

виде

x

w = A

x

или

1

=

A +

1

и перейти к пределу при

x → 0 .

1

1

1

x1

1

x1

1

1

x w

θ(

x

)

Тогда

lim

1

= lim A +

lim

1

= A , откуда следует, что существует конечный

x1→0

x

1

x1→0

x

1

x →0

1

1

1

lim

x w

=

∂w

(M

).

предел

1

0

x

∂x

x1 →0

1

1

Аналогично

можно

доказать

существование

конечных

частных

производных

∂w

(M

0

),

∂w

(M

0

), ….,

∂w

(M

0

).

∂x

∂x

∂x

2

3

n

Следствие 1

Из

доказательства

теоремы

следует,

что

числа

Ai

в

определении

дифференцируемой функции равны значениям частных производных в точке

дифференцируемости.

Следовательно,

полное

приращение

функции

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ),

дифференцируемой в точке M 0 , можно представить в виде

w =

n

∂w

(M

) x + θ(ρ),

где θ(ρ) - бесконечно малая более высокого порядка, чем

∑

0

∂x

i

i=1

i

n

ρ =

∑( xi )2

при всех

xi

→ 0 .

i =1

Следствие 2

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) не

Если

у

функции

существует конечная

частная

производная

∂w

(M0 )

хотя бы по одной переменной

xi ,

то в точке M 0 функция не

∂xi

является дифференцируемой.

16

Пример

Функция двух переменных z = x3

y

определена на полуплоскости:

−∞ < x < +∞ и

0 ≤ y < +∞. Ее частные производные равны:

∂w

= 3x

2

y ,

∂w

=

x3

.

Так

как

∂x

∂y

y

2

∂w

не существует при

y = 0, то заданная функция не является дифференцируемой на

∂y

луче y = 0, входящем в область определения.

Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости).

Если функция w = f (x , x

2

,..., x

,..., x

n

) определена на множестве D Rn

и имеет

1

i

в точке

M

0

(x0, x0,..., x0

,..., x

0 ) D

непрерывные

частные

производные

по

всем

1

2

i

n

переменным xi , то она в этой точке дифференцируема.

Доказательство

При доказательстве ограничимся случаем функции двух переменных. Для функции

большего числа переменных доказательство будет аналогичным.

Для

функции

z = f (x,

y)

полное

приращение

в

точке M 0(x0, y0 )

имеет

вид:

z = f (x0 +

x, y0 +

y)− f (x0,

y0 ).

Прибавим

и

вычтем

в

левой

части

этого

соотношения значение функции

f (x0 +

x, y0 ). Тогда

z можно записать в следующем

виде

z = ( f (x0 + x, y0 + y)− f (x0 + x, y0 )) + ( f (x0 + x, y0 )− f (xo , y0 )) .

Применяя теорему Лагранжа к разностям функций одной переменной, стоящих в

скобках, получим

z =

∂z

(x

+

x, y

)

y +

∂z

(x , y )

x ,

(2),

∂y

∂x

0

1

1

0

где

y0 < y1 < y0 +

y , x0 < x1 < x0 +

x .

Ясно,

что при

y → 0,

y1 → y0 и при

x → 0 x1 → x0.

Поскольку частные производные непрерывны, то

lim

∂z (x , y

)

=

∂z (x , y

);

lim

∂z

(x +

x, y

)=

∂z

(x , y ),

∂y

x→0

∂x

1 0

∂x

0

0

y→0

∂y

0

1

0 0

откуда

следует,

что

∂z

(x , y

)= ∂z

(x

, y

)+ α(

x)

и

∂z

∂z

∂x

1

0

∂x

0

0

(x

+

x, y

)=

(x

, y

)

+β(

y),

где α(

x)

и β(

y) - бесконечно малые функции

∂y

0

1

∂y

0

0

при

x → 0 и

y → 0 . Учитывая это, соотношение (2) можно переписать в следующем

виде

z =

∂z

(x0 , y0 )

x +

∂z

(x0 , y0 )

y + α(

x)

x +β( y)

y .

∂x

∂y

Заметим,

что

выражение

α( x)

x +β(

y)

y

представляет

собой

бесконечно

малую функцию при

x → 0 и

y → 0,

имеющую более высокий порядок, чем

x

и

y . Если обозначить эту бесконечно малую функцию θ(ρ), где

ρ =

x2 +

y2 ,

то

полное приращение функции запишется в виде:

z = A1 x + A2

y + θ(ρ),

где

A1

и

A2

-

вещественные числа,

а θ(ρ)

- бесконечно малая при

x → 0 и

y → 0, более

17