– Рассчитаем среднюю арифметическую условных значений (Zi):

(34)

f_i´ = f_i / m;

– на основании свойств средней арифметической, для того чтобы ее общее значение не изменялось, нужно условную среднюю Z увеличить в К раз и на А, то есть

= × К + А. (35)

3. Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда известны обратные значения показателя либо в логической формуле расчета показателя неизвестен знаменатель. Средняя гармоническая вычисляется из обратных значений признака и может также быть:

а) простой

(36)

где 1/х_i – обратные значения вариантов признака;

n – число вариантов;

б) взвешенной

(37)

где w_i = х_i × f_i – объемный показатель.

Применяется средняя гармоническая в тех случаях, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты осредняемого признака (х_i) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением (w_i = х_i × f_i).

Пример. Рассчитаем среднюю гармоническую величину по данным о валовом сборе зерна, представленным в табл. 9.

Таблица 9

Валовой сбор зерна

Показатель	Валовой сбор (ВС)	Урожайность (ц/га) – х
1-й участок	110	22
2-й участок	650	26
3-й участок	600	30

где площадь определяется как:

Подставляем в исходную формулу:

4. Средняя геометрическая используется в статистике в основном для вычисления темпов роста показателей динамического ряда. В зависимости от имеющихся исходных данных может использоваться формула двух видов:

1. Если расчет ведется исходя из коэффициентов (темпов) роста, найденных по отношению к предыдущему периоду (цепных), то

(38)

где Тр_i – цепные темпы роста;

n – число значений признака.

2. Если в распоряжении имеются абсолютные уровни ряда или базисный темп роста, то есть за весь период, то

(39)

где Y_о, Y_n – начальные и конечные абсолютные значения уровней ряда;

Тр_баз – базисный темп роста за данный период.

Например, в 2009 г. валовой продукт (ВП) составил 120 млрд. руб.; в 2004 г. ВП – 100 млрд. руб.

5. Средняя хронологическая используется для вычисления средней величины из уровней моментного ряда динамики и может быть:

а) простой

(40)

где х_i – абсолютные значения уровней для моментного ряда (на определенную дату, момент);

(n – 1) – продолжительность периода (например, если за год, то n – 1 = 12 месяцев);

б) взвешенной

(41)

где t_i – период времени, отделяющий один уровень ряда от другого.

Средняя взвешенная используется, если интервалы времени между уровнями неравны и известно время, в течение которого сохранялось каждое значение уровня ряда.

7.3 Структурные средние величины

В экономических расчетах кроме алгебраических средних используются еще особые разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов, их условно можно назвать структурными средними: Мо, Ме.

Под модой (Мо) понимается вариант, который чаще всего встречается в данном статистическом ряду.

Под медианой (Ме) понимается значение варианта, расположенного в его середине, то есть такое, которое делит ряд по численности на две равные части.

Способ определения Мо и Ме зависит от вида ряда:

1. Если ряд представляет отдельные, дискретные значения, то структурные средние определяются исходя из понятия, то есть Мо = Хf_max (то есть значение варианта, имеющего наибольшую частоту).

Прежде чем найти значение Ме, необходимо найти ее номер, причем:

а) если всем единицам ряда придать порядковый номер, то номер медианы, в ряду с нечетным числом вариантов, определяется как:

№_Ме = (n + 1) / 2 (42)

(например, n = 51, то №_Ме = (51 + 1) / 2 = 26, то есть 26-й вариант в ряду). Тогда Ме = Х_№Ме26, то есть Ме = х₂₆ (Ме – это вариант, стоящий под данным номером);

б) если вариант – четное число, то медиану определяют как среднюю из двух центральных вариантов, порядковые номера которых и.

Например, если n = 50, то:

№_Ме1 = 50/2 = 25;

№_Ме2 = 50/2 +1 = 26,

а то есть(43)

Пример. Определим моду и медиану по данным, представленным в табл. 10.

Таблица 10

Численность и заработная плата работников ООО «Весна»

Показатели	Значения						Всего
Заработная плата, руб.	203	214	232	255	264	276
Численность, чел.	1	1	5	3	2	2	14

Мо = 232 руб. (так как fmax = 5), fi = 14 человек.

№_Ме =и, то есть 7 и 8 человек.

Х₇ = 232 руб. (заработная плата 7-го человека);

Х₈ = 255 руб. (заработная плата 8-го человека),

2. Если динамический ряд представлен в виде интервалов (то есть не дискретный, а интервальный), то для вычисления Мо и Ме прибегают к следующим формулам:

+ h, (44)

, (45)

где х_о – нижняя граница модального, медианного интервалов соответственно;

h – шаг, величина интервала;

f_m-1 и f_m+1 – частота предшествующего и последующего за модальным интервалов;

f_m – частота модального, медианного интервала (соответственно);

S_m-1 – сумма накопленных (куммулятивных) частот в интервалах, предшествующих медианному.

Прежде чем рассчитывать Мо и Ме, определяют модальный и медианный интервал.

Модальный интервал – это тот, где наибольшая частота; медианный интервал – это тот, где накопленная частота превышает половину общей численности совокупности.

Мо и Ме в отличие от алгебраических средних, являющихся в значительной мере абстрактными характеристиками, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами этого ряда. Поэтому они имеют большое практическое применение (например, чтобы определить наиболее ходовой размер обуви (одежды), средняя арифметическая, дающая абстрактную величину, не подходит и используется Мо).