12.5 Множественная корреляция

Оценки тесноты связи (корреляции) могут играть двоякую роль. Это самостоятельные характеристики, дающие представление и о взаимодействии изучаемых факторов, и об аппроксимации фактических данных аналитической функцией. Поэтому расчет показателей множественной корреляции предполагает оценку уравнений регрессии.

При оценке линейной множественной связи рассчитывают коэффициент множественной корреляции. По смыслу он отражает тесноту связи между вариацией зависимой переменной и вариациями всех включенных в анализ независимых переменных. Обычно сначала строится линейная множественная регрессия, а затем оценивается сам коэффициент.

Наиболее общие формулы для его определения имеют следующий вид:

; , (161)

где σ² – общая дисперсия фактических данных результативного признака (дисперсия Y);

σ²_ост. – остаточная дисперсия, характеризующая вариацию Y за счет факторов, не включенных в уравнение регрессии.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1, чем ближе R к 1, тем более сильная связь между Y и множеством Х. Эта же оценка R используется и как мера точности аппроксимации фактических данных в уравнении. Если R незначительно по величине (как правило, R ≤ 0,3), то можно утверждать, что либо не все важнейшие факторы взаимосвязи учтены, либо выбрана неподходящая форма уравнения. В этом случае следует пересмотреть список переменных модели, а возможно, и сам ее вид.

Для нелинейной множественной связи рассчитывают индекс корреляции. Форма и процедура его вычисления аналогичны указанным выше, только взаимодействие факторов аппроксимируется нелинейной функцией. Он также изменяется в пределах от 0 до 1. На практике, как правило, используется одно название – коэффициент множественной корреляции.

Квадрат R равен так называемому коэффициенту детерминации (D, или R²). Он показывает, какая часть вариации зависимого признака объясняется включенным в модель факторами.

12.6 Оценка значимости параметров взаимосвязи

Получив оценки корреляции и регрессии, необходимо проверить их на соответствие истинным параметрам взаимосвязи.

Существующие программы для ЭВМ включают, как правило, несколько наиболее распространенных критериев. Для оценки значимости коэффициента парной корреляции рассчитывают стандартную ошибку коэффициента корреляции:

. (162)

В первом приближении нужно, чтобы . Значимостьr_xy проверяется его сопоставлением с , при этом получают:

, (163)

где t_расч. – так называемое расчетное значение t-критерия.

Если t_расч. больше теоретического (табличного) значения критерия Стьюдента (t_табл.) для заданного уровня вероятности и (n – 2) степеней свободы, то можно утверждать, что r_xy значимо.

Подобным же образом на основе соответствующих формул рассчитывают стандартные ошибки параметров уравнения регрессии, а затем и t-критерии для каждого параметра. Важно опять-таки проверить, чтобы соблюдалось условие t_расч. > t_табл.. В противном случае доверять полученной оценке параметра нет оснований.

Вывод о правильности выбора вида взаимосвязи и характеристику значимости всего уравнения регрессии получают с помощью F-критерия, вычисляя его расчетное значение:

, (164)

где n – число наблюдений;

т – число параметров уравнения регрессии.

F_расч. также должно быть больше F_теор. при V₁ = (m – 1) и V₂ = (n – m) степенях свободы. В противном случае следует пересмотреть форму уравнения, перечень переменных и т.д.