DifYr

Решение. По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжений на индуктивном и активном сопротивлениях:

E = uL + uR;

где

dI

uL = L dt; uR = R I:

Итак, искомая функция I = I(t) удовлетворяет уравнению

L	dI	+ R I = E и I(0) = 0:	(1.3)
	dt

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Задача 4. Задано плоское векторное поле

~

F = (P; Q);

где P; Q : D -! R; D R2.

~

Найти уравнения векторных линий поля F.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

~

Решение. Напомним, что векторной линией поля F называется кривая, касательный вектор которой в каждой

~

её точке M(x; y) коллинеарен вектору F, отвечающего этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть	M(x; y)	2 D произвольная точка области D
через	которую	проходит векторная линия L поля

~

F = (P(x; y); Q(x; y)).

Если
		x = '(t);	t ;
		L : y = (t);
некоторая параметризация кривой L, то вектор				~
				p =
			2
'0(t);	0(t)	– направляющий вектор касательной к

кривой L в точке M ('(t); (t)) L.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

			~
Так как L – векторная линия поля F = (P(x; y); Q(x; y)),
~	~
то векторы p и F коллинеарны, то есть
	'0(t)		=	0(t)	:
	P ('(t); (t))			Q ('(t); (t))
Умножая последнее равенство на dt получим
	'0(t)dt		=	0(t)dt	:
	P ('(t); (t))			Q ('(t); (t))

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

~

Итак векторная линия поля F = (P(x; y); Q(x; y)) характеризуется равенством

dx		=	dy
P(x; y)			Q(x; y)

или

Q(x; y) dx - P(x; y) dy = 0:

(1.4)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Примеры плоских векторных полей.

Посмотрите иллюстрации различных плоских вектор- ных полей и их векторных линий.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. В теории дифференциальных уравнений

~

векторные линии поля F называют интегральными кривыми дифференциального уравнения (1.4).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.2.Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка есть соотношение, связывающее искомую функцию, независимое переменное и первую производную от искомой функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

F x; y; y0 = 0

(1.5)

или

	F x; y;	dy	= 0;	(1.6)
		dx

где F - заданная непрерывная функция трёх своих аргументов; в частности, она может не зависеть от x или от y

(или от обоих этих аргументов), но непременно должна

содержать y0 или dy.

dx

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit